江苏省扬州市2019届高三数学第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-04-12 类型：高考模拟

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一、填空题

1. 已知集合 $M = {- 2, - 1, 0}$ ， $N = {x | {(\frac{1}{2})}^{x} > 2}$ ，则 $M \cap^{} N =$ ．

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，且复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 2$ ，则 $| z | =$ ．

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3. 底面半径为1，母线长为3的圆锥的体积是．

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4. 某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为．

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5. 根据如图所示的伪代码，已知输出值 $y$ 为3，则输入值 $x$ 为．

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6. 甲乙两人各有三张卡片，甲的卡片分别标有数字1、2、3，乙的卡片分别标有数字0、1、3.两人各自随机抽出一张，甲抽出的卡片上的数字记为 $a$ ，乙抽出的卡片上的数字记为 $b$ ，则 $a$ 与 $b$ 的积为奇数的概率为．

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7. 若直线l₁： $x - 2 y + 4 = 0$ 与l₂： $m x - 4 y + 3 = 0$ 平行，则两平行直线l₁ ， l₂间的距离为．

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8. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 7$ ， $S_{6} = 63$ ，则 $a_{1}$ ＝．

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9. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为 $x - 2 y = 0$ ，则该双曲线的离心率为．

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10. 已知直线l： $y = - x + 4$ 与圆C： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 相交于P，Q两点，则 $\overset{⇀}{CP} \cdot \overset{⇀}{CQ}$ ＝．

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11. 已知正实数x，y满足 $x + 4 y - x y = 0$ ，若 $x + y \geq m$ 恒成立，则实数m的取值范围为．

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12. 设a，b是非零实数，且满足 $\frac{a sin \frac{π}{7} + b cos \frac{π}{7}}{a cos \frac{π}{7} - b sin \frac{π}{7}} = tan \frac{10 π}{21}$ ，则 $\frac{b}{a}$ ＝．

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13. 已知函数 $f (x) = a + 3 + \frac{4}{x} - | x + a |$ 有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为．

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14. 若存在正实数x，y，z满足 $3 y^{2} + 3 z^{2} \leq 10 y z$ ，且 $ln x - ln z = \frac{e y}{z}$ ，则 $\frac{x}{y}$ 的最小值为．

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二、解答题

15. 已知函数 $f (x) = {cos}^{2} x + 2 \sqrt{3} sin x cos x - {sin}^{2} x$ ， $x \in R$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、求方程 $f (x) = 0$ 在(0， $π$ ]内的所有解．

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16. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $A A_{1} B_{1} B$ 为矩形，平面 $A A_{1} B_{1} B ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E$ ， $F$ 分别是侧面 $A A_{1} B_{1} B$ ， $B B_{1} C_{1} C$ 对角线的交点．求证：

(1)、 $E F / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、 $B B_{1} ⊥ A C$ .

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17. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝ $\sqrt{5}$ 百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝ $θ$ ， $θ \in$ ( $\frac{π}{2}$ ， $π$ )．

(1)、当cos $θ$ ＝ $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ 时，求小路AC的长度；

(2)、当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．

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18. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $M$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右顶点分别为 $A$ 、 $B$ ，线段 $A B$ 的长为4.点 $P$ 在椭圆 $M$ 上且位于第一象限，过点 $A$ ， $B$ 分别作 $l_{1} ⊥ P A$ ， $l_{2} ⊥ P B$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 交于点 $C$ .

(1)、若点 $C$ 的横坐标为-1，求点 $P$ 的坐标；

(2)、直线 $l_{1}$ 与椭圆 $M$ 的另一交点为 $Q$ ，且 $\overset{⇀}{A C} = λ \overset{⇀}{A Q}$ ，求 $λ$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = (3 - x) e^{x}$ ， $g (x) = x + a (a \in R)$ （ $e$ 是自然对数的底数， $e \approx 2.718...$ ）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、若函数 $y = f (x) g (x)$ 在区间 $[1, 2]$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $h (x) = \frac{f (x) + g (x)}{x}$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上既存在极大值又存在极小值，并且函数 $h (x)$ 的极大值小于整数 $b$ ，求 $b$ 的最小值．

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20. 记无穷数列 ${a_{n}}$ 的前n项中最大值为 $M_{n}$ ，最小值为 $m_{n}$ ，令 $b_{n} = \frac{M_{n} + m_{n}}{2}$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $A_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $B_{n}$ ．

(1)、若数列 ${a_{n}}$ 是首项为2，公比为2的等比数列，求 $B_{n}$ ；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，试问数列 ${a_{n}}$ 是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明；

(3)、若 $b_{n} = 2^{n} - 100 n$ ，求 $A_{n}$ ．

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21. 已知矩阵A＝ $[\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}$ $\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}]$ ，满足A $[\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}]$ ＝ $[\begin{matrix} 6 \\ 8 \end{matrix}]$ ，求矩阵A的特征值．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 t \\ y = - 2 - t \end{matrix}$ （t为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合），圆C的方程为 $ρ = 4 \sqrt{2} cos (θ + \frac{π}{4})$ ，求直线l被圆C截得的弦长．

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23. 如图，将边长为2的正方形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折叠，使得平面 $A B D ⊥$ 平面 $C B D$ ，又 $A E ⊥$ 平面 $A B D$ .

(1)、若 $A E = \sqrt{2}$ ，求直线 $D E$ 与直线 $B C$ 所成的角；

(2)、若二面角 $A B E D$ 的大小为 $\frac{π}{3}$ ，求 $A E$ 的长度．

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24. 已知直线 $x = - 2$ 上有一动点 $Q$ ，过点 $Q$ 作直线 $l_{1}$ 垂直于 $y$ 轴，动点 $P$ 在 $l_{1}$ 上，且满足 $\overset{⇀}{O P} \cdot \overset{⇀}{O Q} = 0$ （ $O$ 为坐标原点），记点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、已知定点 $M (- \frac{1}{2}, 0)$ ， $N (\frac{1}{2}, 0)$ ， $A$ 为曲线 $C$ 上一点，直线 $A M$ 交曲线 $C$ 于另一点 $B$ ，且点 $A$ 在线段 $M B$ 上，直线 $A N$ 交曲线 $C$ 于另一点 $D$ ，求 $Δ M B D$ 的内切圆半径 $r$ 的取值范围．

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