广东省雷州市2018-2019学年高三上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2019-04-12 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | - 1 < x < 2}$ ，集合 $N = {x | y = \sqrt{x - 1}}$ ，则 $M \cup^{} N =$ （）

A、 $[1, 2)$ B、 $\emptyset$ C、 $R$ D、 $(- 1, + \infty)$

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2. 复数 $z = \frac{2 + i}{- i}$ (i为虚数单位)在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ B、 $f (x) = x^{2} + 1$ C、 $f (x) = x^{3}$ D、 $f (x) = 2^{- x}$

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4. 若tanα＞0，则（）

A、sinα＞0 B、cosα＞0 C、sin2α＞0 D、cos2α＞0

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5. 设向量 $\overset{⇀}{a} = (2, 0), \overset{⇀}{b} = (1, 1)$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = 2$ B、 $| \overset{⇀}{a} | = | \overset{⇀}{b} |$ C、 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ D、 $\overset{⇀}{a} / / \overset{⇀}{b}$

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6. 命题 $p : \exists x_{0} > 0$ ， $x_{0} + \frac{1}{x_{0}} = 2$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x > 0$ ， $x + \frac{1}{x} = 2$ B、 $\forall x > 0$ ， $x + \frac{1}{x} \neq 2$ C、 $\forall x > 0$ ， $x + \frac{1}{x} \geq 2$ D、 $\exists x > 0$ ， $x + \frac{1}{x} \neq 2$

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7. 执行下面的程序框图，如果输入的 $t = 0.1$ ，则输出的 $n =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、10

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8. 某校高三年级学生会主席团有共有 $5$ 名同学组成,其中有 $3$ 名同学来自同一班级,另外两名同学来自另两个不同班级.现从中随机选出两名同学参加会议,则两名选出的同学来自不同班级的概率为（）

A、 $0.35$ B、 $0.4$ C、 $0.6$ D、 $0.7$

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9. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{b} = 1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ，则C的渐近线方程为（）

A、y= $\pm \frac{1}{4} x$ B、y= $\pm \frac{1}{3} x$ C、y= $\pm \frac{1}{2} x$ D、y= $\pm x$

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10. 某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\sqrt{7}$

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11. 若直线 $y = k (x - 2)$ 与曲线 $y = \sqrt{1 - x^{2}}$ 有交点，则（）

A、 $k$ 有最大值 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，最小值 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $k$ 有最大值 $\frac{1}{2}$ ，最小值 $- \frac{1}{2}$ C、 $k$ 有最大值0，最小值 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $k$ 有最大值0，最小值 $- \frac{1}{2}$

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12. 定义在 $[0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ ，当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = 4 (| x - 1 | - 1)$ ，且对任意实数 $x \in [2^{n} - 2 ， 2^{n + 1} - 2] (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ ，都有 $f (x) = \frac{1}{2} f (\frac{x}{2} - 1)$ .若方程 $f (x) - {log}_{a} x = 0$ 有且仅有三个实根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{10}}{10} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{10}}{10} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(\frac{1}{10} ， \frac{1}{2})$ D、 $[\frac{1}{10} ， \frac{1}{2})$

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二、填空题

13. 若直线 $y = 2 x$ 上存在点 $(x ， y)$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 3 \leq 0 \\ x - 2 y - 3 \leq 0 \\ x \geq m \end{matrix}$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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14. 三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝ $\sqrt{2}$ ，则三棱锥外接球的表面积等于.

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15. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $(\sqrt{2} c - b) cos A = a cos B$ ，则A $=$ .

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16. 已知 $A$ 、 $B$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $0 < b < 3$ ）的左、右顶点, $P 、 Q$ 是椭圆上的不同两点且关于 $x$ 轴对称,设直线 $A P 、 B Q$ 的斜率分别为 $m$ 、 $n$ ,若点 $A$ 到直线 $y = \sqrt{1 - m n} x$ 的距离为1,则该椭圆的离心率为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2}$ $(n \in N^{*})$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在如图所示的多面体 $E F - A B C D$ 中， $A B / / C D / / E F$ ， $E F ⊥$ 平面 $A D E$ $B E ⊥ D E$ ．

（Ⅰ）证明： $A E ⊥$ 平面 $E F C D$ ；

（Ⅱ）若 $E F = 2$ ， $A E = D E = 1$ ，求三棱锥 $F - B C E$ 的体积．

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19. 某市一调查机构针对该市市场占有率最高的甲、乙两家网络外卖企业以下简称外卖甲，外卖乙的经营情况进行了调查，调查结果如表：

日期	第1天	第2天	第3天	第4天	第5天
外卖甲日接单x(百单	5	2	9	8	11
外卖乙日接单y(百单	2.2	2.3	10	5	15

（Ⅰ）据统计表明，y与x之间具有线性相关关系．经计算求得y与x之间的回归方程为 $\hat{y} = 1.382 x - 2.774$ ，假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于2500单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围；(x值精确到0.01)

（Ⅱ）试根据表格中这五天的日接单量情况，从平均值和方差角度说明这两家外卖企业的经营状况．

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20. 如图，已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ 和⊙ $M$ ${(x - 4)}^{2} + y^{2} = 1$ ，过抛线 $C$ 上一点 $H (x_{0} ， y_{0}) (y_{0} \geq 1)$ 作两条直线与⊙ $M$ 相切于A、B两点，分别交抛物线于E、F两点，圆心点 $M$ 到抛物线准线的距离为 $\frac{17}{4}$ ．

（Ⅰ）求抛物线 $C$ 的方程；

（Ⅱ）当 $∠ A H B$ 的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；

（Ⅲ）若直线AB在 $y$ 轴上的截距为 $t$ ，求 $t$ 的最小值．

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21. 已知函数 $f (x) = ln x + a x^{2}$ ，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）当 $a ＝ 0$ 时，设 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ 、 $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 为曲线 $y = f (x)$ 上任意两点，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}))$ 处的切线斜率为k，证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > k$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x o y$ 中，圆 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 c o s α \\ y = 2 + 2 s i n α \end{matrix}$ ，( $α$ 为参数)，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \sqrt{2} cos (θ + \frac{π}{4})$
（Ⅰ）求圆 $C_{1}$ 的普通方程和圆 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

（Ⅱ）判断圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的位置关系．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + 1 | + 2 | x - 3 |$ ．
（Ⅰ）求不等式 $f (x) \leq 7 x$ 的解集；

（Ⅱ）若关于x的方程 $f (x) = m + 1$ 存在实数解，求实数 $m$ 的取值范围．

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