辽宁省凌源市2019届高三理数第一次联合模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-04-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $(1 - i) (3 + i)$ 的虚部是（）

A、4 B、-4 C、2 D、-2

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2. 集合 $A = {x | - 1 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | {log}_{3} x \leq 1}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ B、 ${x | 0 < x \leq 2}$ C、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$ D、 ${x | x \leq - 1 或 x 〉 2}$

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3. 设 $a = {(\frac{5}{7})}^{\frac{3}{7}}$ ， $b = {(\frac{3}{7})}^{\frac{5}{7}}$ ， $c = {(\frac{3}{7})}^{\frac{3}{7}}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $b < c < a$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < a < b$

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4. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} + a_{10} = 16$ ， $a_{8} = 11$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、30 B、35 C、42 D、56

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5. 中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（）

A、30种 B、50种 C、60种 D、90种

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6. 执行两次下图所示的程序框图，若第一次输入的 $x$ 的值为4，第二次输入的 $x$ 的值为5，记第一次输出的 $a$ 的值为 $a_{1}$ ，第二次输出的 $a$ 的值为 $a_{2}$ ，则 $a_{1} - a_{2} =$ （）

A、2 B、1 C、0 D、-1

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7. 如图，在直角坐标系 $x O y$ 中，过坐标原点 $O$ 作曲线 $y = e^{x}$ 的切线，切点为 $P$ ，过点 $P$ 分别作 $x ， y$ 轴的垂线，垂足分别为 $A ， B$ ，向矩形 $O A P B$ 中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{e - 2}{2 e}$ B、 $\frac{e - 1}{2 e}$ C、 $\frac{e - 2}{e}$ D、 $\frac{e - 1}{e}$

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8. 已知 $α, β$ 是不重合的平面， $m, n$ 是不重合的直线，则 $m ⊥ α$ 的一个充分条件是（）

A、 $m ⊥ n$ ， $n \subset α$ B、 $m / / β$ ， $α ⊥ β$ C、 $n ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ β$ D、 $α \cap^{} β = n$ ， $α ⊥ β$ ， $m ⊥ n$

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9. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F (- \sqrt{5}, 0)$ ，点 $A$ 的坐标为 $(0, 2)$ ，点 $P$ 为双曲线右支上的动点，且 $Δ A P F$ 周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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10. 各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，若 $a_{2} a_{6} = 4$ ， $a_{3} = 1$ ，则 $\frac{{(S_{n} + \frac{9}{4})}^{2}}{2 a_{n}}$ 的最小值为（）

A、4 B、6 C、8 D、12

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11. $R t Δ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{0}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 4$ ， $Δ A B D$ 中， $∠ A D B = 120^{0}$ ，则 $C D$ 的取值范围是（）

A、 $[2 \sqrt{7} - 2, 2 \sqrt{7} + 2]$ B、 $(4, 2 \sqrt{3} + 2]$ C、 $[2 \sqrt{7} - 2, 2 \sqrt{3} + 2]$ D、 $[2 \sqrt{3} - 2, 2 \sqrt{3} + 2]$

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二、填空题

12. 甲、乙、丙三人中，只有一个会弹钢琴，甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”，如果这三句话，只有一句是真的，那么会弹钢琴的是．

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13. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $(- \infty, + \infty)$ 的偶函数，且 $f (x - 1)$ 为奇函数，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 1 - x^{3}$ ，则 $f (\frac{29}{2}) =$ ．

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14. 四面体 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 底面 $B C D$ ， $A B = B D = \sqrt{2}$ ， $C B = C D = 1$ ，则四面体 $A - B C D$ 的外接球的表面积为．

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三、解答题

15. 设函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{6}) + 2 {cos}^{2} x$ .

(1)、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $f (A) = \frac{3}{2}$ ， $\sqrt{2} a = \sqrt{3} b$ ， $c = 1 + \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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16. 世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：

每周累积户外暴露时间（单位：小时）	$[0 ， 7)$	$[7 ， 14)$	$[14 ， 21)$	$[21 ， 28)$	不少于28小时
近视人数	21	39	37	2	1
不近视人数	3	37	52	5	3

(1)、在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；

(2)、若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（2）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？

	近视	不近视
足够的户外暴露时间
不足够的户外暴露时间

附: $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

P $(K^{2} \geq k_{0})$	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	3.841	6.635	10.828

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17. 如图，在三棱锥 $D - A B C$ 中， $Δ A B C$ 与 $Δ B D C$ 都为等边三角形，且侧面 $B C D$ 与底面 $A B C$ 互相垂直， $O$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ 在线段 $O D$ 上，且 $O F = \frac{1}{3} O D$ ， $E$ 为棱 $A B$ 上一点.

(1)、试确定点 $E$ 的位置，使得 $E F / /$ 平面 $A C D$ ；

(2)、在（1）的条件下，求二面角 $D - F B - E$ 的余弦值.

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18. 已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的左、右两个顶点分别为 $A, B$ ，点 $P$ 为椭圆 $C_{1}$ 上异于 $A, B$ 的一个动点，设直线 $P A, P B$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，若动点 $Q$ 与 $A, B$ 的连线斜率分别为 $k_{3}, k_{4}$ ，且 $k_{3} k_{4} = λ k_{1} k_{2} (λ \neq 0)$ ，记动点 $Q$ 的轨迹为曲线 $C_{2}$ .

(1)、当 $λ = 4$ 时，求曲线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、已知点 $M (1, \frac{1}{2})$ ，直线 $A M$ 与 $B M$ 分别与曲线 $C_{2}$ 交于 $E, F$ 两点，设 $Δ A M F$ 的面积为 $S_{1}$ ， $Δ B M E$ 的面积为 $S_{2}$ ，若 $λ \in [1, 3]$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的取值范围.

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19. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + \sqrt{3} c o s α \\ y = \sqrt{3} s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），直线 $l$ 的方程为 $y = k x$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、曲线 $C$ 与直线 $l$ 交于 $A, B$ 两点，若 $| O A | + | O B | = 2 \sqrt{3}$ ，求 $k$ 的值.

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20. 已知函数 $f (x) = | x - 4 a | + | x |, a \in R$

(1)、若不等式 $f (x) \geq a^{2}$ 对 $\forall x \in R$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设实数 $m$ 为（1）中 $a$ 的最大值，若实数 $x, y, z$ 满足 $4 x + 2 y + z = m$ ，求 ${(x + y)}^{2} + y^{2} + z^{2}$ 的最小值.

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