辽宁省大连市2019年普通高中数学学业水平考试模拟卷

试卷更新日期：2019-04-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 5}$ ，则 $A \cup^{} B =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${6}$ C、 ${1, 3, 4, 5, 6}$ D、 ${1, 2, 3, 4, 5}$

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2. 函数 $f (x) = 2^{- x}$ 在区间[-2，-1]上的最大值是（）

A、1 B、2 C、4 D、 $\frac{1}{2}$

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3. 函数 $f (x) = cos 2 x$ 的最小正周期是（）

A、 $2 π$ B、 $π$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4}$

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4. 已知 $f (x) = x^{3} + 2 x$ ,则 $f (a) + f (- a)$ 的值是（）

A、0 B、–1 C、1 D、2

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5. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）

A、 $\frac{3}{2} π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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6. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, 3)$ ，向量 $\overset{⇀}{b} = (x, - 1)$ ，若 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、3 C、 $- 1$ D、1

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7. 在某次考试中，共有100个学生参加考试，如果某题的得分情况如表：

得分

0分

1分

2分

3分

4分

百分率

37.0

8.6

6.0

28.2

20.2

那么这些得分的众数是（）

A、37.0% B、20.2% C、0分 D、4分

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8. 若回归直线的方程为 $\hat{y} = 2 - 1.5 x$ ，则变量 $x$ 增加一个单位时（）

A、 $y$ 平均增加1.5个单位 B、 $y$ 平均增加2个单位 C、 $y$ 平均减少1.5个单位 D、 $y$ 平均减少2个单位

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9. 若直线 $l$ 过点 $(- 1 ， 2)$ 且与直线 $2 x - 3 y + 4 = 0$ 垂直，则 $l$ 的方程为（）

A、 $3 x + 2 y - 1 = 0$ B、 $2 x + 3 y - 1 = 0$ C、 $3 x + 2 y + 1 = 0$ D、 $2 x - 3 y - 1 = 0$

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10. 已知 $\overset{⇀}{A B} = (1, - 1)$ ， $C (0, 1)$ ，若 $\overset{⇀}{C D} = 2 \overset{⇀}{A B}$ ，则点 $D$ 的坐标为（）

A、 $(- 2, 3)$ B、 $(2, - 3)$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $(2, - 1)$

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11. 对于不同直线 $a, b, l$ 以及平面 $α$ ，下列说法中正确的是（）

A、如果 $a ∥ b, a ∥ α$ ，则 $b ∥ α$ B、如果 $a ⊥ l, b ⊥ l$ ，则 $a ∥ b$ C、如果 $a ∥ α, b ⊥ a$ ,则 $b ⊥ α$ D、如果 $a ⊥ α, b ⊥ α$ ,则 $a ∥ b$

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12. 等差数列{a_n}中，a₂+a₅+a₈=12，那么函数 $f (x) =$ x²+（a₄+a₆）x+10零点个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、1或2

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二、填空题

13. 某超市有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种, 现采用分层抽样的方法抽取一个容量为 $n$ 的样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则 $n$ 为．

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14. 圆C的方程是x²+y²+2x+4y=0，则圆的半径是．

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15. 直线 $l$ 的斜率是3，且过点A(1,-2),则直线 $l$ 的方程是．

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16. 若实数x ， y满足 ${\begin{matrix} x - 1 \leq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \end{matrix}$ ，则y的最大值是．

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三、解答题

17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD ， PD=DC ， E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F ．

（Ⅰ）证明 PA//平面EDB；

（Ⅱ）证明PB⊥平面EFD.

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18. 等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{7} = 4, a_{19} = 2 a_{9}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{n a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 已知 $△ A B C$ 的三个内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c.若 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B - {sin}^{2} C = sin A sin B$ .

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，c= $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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20. 已知圆 $C$ 的圆心 $C$ 在直线 $y = x$ 上，且与 $x$ 轴正半轴相切，点 $C$ 与坐标原点 $O$ 的距离为 $\sqrt{2}$ .
（Ⅰ）求圆 $C$ 的标准方程；

（Ⅱ）斜率存在的直线 $l$ 过点 $M (1, \frac{1}{2})$ 且与圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，求弦长 $| A B |$ 的最小值.

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21. 已知函数 $f (x) = {log}_{\frac{1}{2}} (x^{2} + 1)$ ， $g (x) = x^{2} - a x + 6$ .
（Ⅰ）若 $g (x)$ 为偶函数，求 $a$ 的值并写出 $g (x)$ 的增区间；

（Ⅱ）若关于 $x$ 的不等式 $g (x) < 0$ 的解集为 ${x | 2 < x < 3}$ ，当 $x > 1$ 时，求 $\frac{g (x)}{x - 1}$ 的最小值；

（Ⅲ）对任意的 $x_{1} \in [1, + \infty)$ ， $x_{2} \in [- 2, 4]$ ，不等式 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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得分	0分	1分	2分	3分	4分
百分率	37.0	8.6	6.0	28.2	20.2