辽宁省大连市2019届高三下学期理数第一次（3月)双基测试试卷

试卷更新日期：2019-04-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 2}, B = {x | - 1 < x < 1}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 2}$ B、 ${x | 0 < x < 1}$ C、 ${x | 0 < x < 2}$ D、 ${x | - 1 < x < 1}$

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2. $\frac{1 + i}{1 - i}$ ＝（）

A、 $i$ B、 $- I$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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3. 已知直线 $l$ 和平面 $α, β$ ，且 $l \subset α$ ，则“ $l ⊥ β$ ”是“ $α ⊥ β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $y = tan (\frac{1}{2} x + \frac{π}{3})$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $π$ D、2 $π$

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5. 已知某高中的一次测验中，甲.乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是（）

A、乙班的理科综合成绩强于甲班 B、甲班的文科综合成绩强于乙班 C、两班的英语平均分分差最大 D、两班的语文平均分分差最小

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6. 已知向量 $\overset{⇀}{A B} = （ 1 ， 2 ）$ ， $\overset{⇀}{A C} = （ - 3 ， 1 ）$ 则 $\overset{⇀}{A B} • \overset{⇀}{B C}$ ＝（）

A、6 B、-6 C、-1 D、1

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7. 函数 $y = \frac{2^{x}}{2^{x} + 1} (x \in R)$ 的值域为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(1, + \infty)$ D、 $(0, \frac{1}{2})$

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8. 已知 $Δ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ ,且满足 $\sqrt{3} a t a n A ＝ b c o s C + c c o s B$ ，则 $∠ A =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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9. 已知正实数 $a, b$ 满足 $a + b = {(a b)}^{\frac{3}{2}}$ ，则 $a b$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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10. 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（）

A、40 B、43 C、46 D、47

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11. 已知抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在抛物线上，以 $P F$ 为边作一个等边三角形 $P F Q$ ，若点 $Q$ 在抛物线的准线上，则 $| P F | =$ （）

A、1 B、2 C、2 $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{3}$

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12. 若 $x = 0$ 是函数 $f (x) = ln (x + \frac{1}{2}) + \frac{2 x}{2 a x^{2} - x - 1}$ 的极大值点，则实数 $a$ 的取值集合为（）

A、 ${\frac{1}{6}}$ B、 ${- \frac{1}{2}}$ C、 $[- \frac{1}{2}, + \infty)$ D、 $(- \infty, \frac{1}{2}]$

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二、填空题

13. ${(x + \frac{2}{x})}^{4}$ 展开式中的常数项为.

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14. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 3 \geq 0 \\ x - y - 1 \leq 0 \\ y - 2 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $z ＝ 2 x + y$ 的最大值为.

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15. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，若函数 $f (x + 1)$ 为偶函数，函数 $f (x + 2)$ 为奇函数，则 $\sum_{i = 1}^{2019} f (i)$ ＝.

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16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $C$ 上存在一点满足 $∠ F_{1} P F_{2} ＝ \frac{π}{3}$ ，且 $P$ 到坐标原点的距离等于双曲线 $C$ 的虚轴长，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为．

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三、解答题

17. 已知数列｛ $a_{n}$ ｝的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} - 5 n (n \in N_{+})$ ．

(1)、求数列｛ $a_{n}$ ｝的通项公式；

(2)、求数列｛ $\frac{a_{n}}{2^{n + 1}}$ ｝的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击．某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所示：
根据这9年的数据，对 $t$ 和 $y$ 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.243；

根据后5年的数据，对 $t$ 和 $y$ 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.984.

(1)、如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入，现在有两个方案，
方案一：选取这9年数据进行预测，方案二：选取后5年数据进行预测．

从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？

附：相关性检验的临界值表：

(2)、某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为 $50 %$ ，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为 $10 %$ ，现用此统计结果作为概率，若从上述读者中随机调查了3位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率．

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19. 已知圆 $O$ 经过椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点以及两个顶点，且点 $(b, \frac{1}{a})$ 在椭圆 $C$ 上．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程，

(2)、若直线 $l$ 与圆 $O$ 相切，与椭圆 $C$ 交于 $M, N$ 两点，且 $| M N | = \frac{4}{3}$ ，求直线 $l$ 的倾斜角．

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20. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ＝ A A_{1} ＝ \sqrt{2}$ ， $A C ＝ 2$ ， $∠ B A C ＝ 45^{o} ， ∠ B A A_{1} ＝ 60^{o}$ ，且平面 $A C C_{1} A_{1}$ ⊥平面 $A B C$ .

(1)、求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积.

(2)、点 $E$ 在棱 $B B_{1}$ 上，且 $A_{1} E$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ （ $B E > E B_{1}$ ），求 $B E$ 的长．

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21. 已知函数 $f (x) ＝ l n x + a x^{2} - x (x > 0, a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 上存在唯一的点 $M$ ，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 $M$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t c o s α \\ y = t s i n α \end{matrix} ，$ （ $t$ 为参数且 $t > 0 ， α \in (0, \frac{π}{2})$ ）曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = c o s β \\ y = 1 + s i n β \end{matrix}$ （ $β$ 为参数，且 $β \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ ），以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程为： $ρ = 1 + cos θ (θ \in (0, \frac{π}{2}))$ ，曲线 $C_{4}$ 的极坐标方程为 $ρ cos θ = 1$ .

(1)、求 $C_{3}$ 与 $C_{4}$ 的交点到极点的距离；

(2)、设 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于 $P$ 点， $C_{1}$ 与 $C_{3}$ 交于 $Q$ 点，当 $α$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上变化时，求 $| O P | + | O Q |$ 的最大值．

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23. 设函数 $f (x) = | 2 x + a | - | x - 2 | (x \in R, a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq - 1$ 在 $x \in R$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围．

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