湖南省怀化市2019届高三文数3月第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-04-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {0, 1, 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x \leq 0}$ ，则 $A \cap^{} B$ 为（）

A、 ${1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${0, 1, 2, 3}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 3}$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(2 - i) z = 1 + 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、-1 C、0 D、 $i$

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3. 有下列四个命题： $p_{1}$ ： $\forall x \in R$ ， $sin x \leq 1$ . $p_{2}$ ： $\exists n \in N$ ， $n^{2} > 2^{n}$ . $p_{3}$ ： $a + b = 0$ 的充要条件是 $\frac{a}{b} = - 1$ . $p_{4}$ ：若 $p \lor q$ 是真命题，则 $p$ 一定是真命题.其中真命题是（）

A、 $p_{1}$ ， $p_{2}$ B、 $p_{2}$ ， $p_{3}$ C、 $p_{3}$ ， $p_{4}$ D、 $p_{1}$ ， $p_{4}$

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4. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）

A、32 B、16+16 $\sqrt{2}$ C、48 D、16+32 $\sqrt{2}$

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5. 《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6. 设函数 $f (x) = sin (\frac{1}{2} x + θ) - \sqrt{3} cos (\frac{1}{2} x + θ) (| θ | < \frac{π}{2})$ 的图像关于原点对称，则 $θ$ 的值为（）

A、 $- \frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $- \frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{3}$

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7. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱长为 $\sqrt{2}$ ，底面三角形的边长为1，则 $B C_{1}$ 与侧面 $A C C_{1} A$ 所成角的大小为（）

A、 $30^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $60^{\circ}$ D、 $90^{\circ}$

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8. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $2 S = {(a + b)}^{2} - c^{2}$ ，则 $tan C$ 的值是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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9. 已知圆 $O$ 与直线 $l$ 相切于点 $A$ ，点 $P ， Q$ 同时从点 $A$ 出发， $P$ 沿着直线 $l$ 向右、 $Q$ 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当 $Q$ 运动到点 $A$ 时，点 $P$ 也停止运动，连接 $O Q$ ， $O P$ （如图），则阴影部分面积 $S_{1}$ ， $S_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $S_{1} = S_{2}$ B、 $S_{1} \leq S_{2}$ C、 $S_{1} \geq S_{2}$ D、先 $S_{1} < S_{2}$ ，再 $S_{1} = S_{2}$ ，最后 $S_{1} > S_{2}$

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10. 直线 $l$ 与抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 x$ 交于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点，若直线 $O A$ ， $O B$ 的斜率 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 满足 $k_{1} k_{2} = \frac{2}{3}$ ，则直线 $l$ 过定点（）

A、 $(3, 0)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(- 3, 0)$ D、 $(0, - 3)$

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11. 已知点 $G$ 是 $Δ A B C$ 的重心， $\overset{⇀}{A G} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A C} (λ ， μ \in R)$ ，若 $∠ A = 120^{\circ}$ ， $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{A C} = - 2$ ，则 $| \overset{⇀}{A G} |$ 的最小值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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12. 已知函数 $f (x) = | ln x | - a^{x}$ ，（ $x > 0$ ， $0 < a < 1$ ）的两个零点为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则（）

A、 $0 < x_{1} x_{2} < 1$ B、 $x_{1} x_{2} = 1$ C、 $1 < x_{1} x_{2} < e$ D、 $x_{1} x_{2} > e$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 4 - x, x \geq 0 \\ x + 4, x < 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- 4))$ 的值为．

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14. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} 2 x - y + 6 \geq 0 \\ x + y \geq 0 \\ x \leq 2 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = x - y$ 的最大值为．

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15. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，且满足 $S_{2} = 3$ ， $S_{3} - S_{1} = 6$ ，则 $a_{6} =$ ．

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16. 已知双曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，第一象限内的点 $M (x_{0}, y_{0})$ 在双曲线 $C_{1}$ 的渐近线上，且 $M F_{1} ⊥ M F_{2}$ ，若以 $F_{2}$ 为焦点的抛物线 $C_{2}$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 经过点 $M$ ，则双曲线 $C_{1}$ 的离心率为．

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 5$ ， $S_{10} = 100$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{2}{n (a_{n} + 5)}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 为菱形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，连接 $A C$ 、 $B D$ 交于点 $O$ ， $A C = 6$ ， $B D = 8$ ，点 $E$ 是棱 $P C$ 上的动点，连接 $D E$ 、 $B E$ .

(1)、求证：平面 $B D E ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、当 $Δ B D E$ 面积的最小值是4时，求此时点 $E$ 到底面 $A B C D$ 的距离.

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19. 为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数：

温度 $x$ （单位： $^{\circ} C$ ）	21	23	24	27	29	32
死亡数 $y$ （单位：株）	6	11	20	27	57	77

经计算： $\bar{x} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} x_{i} = 26$ ， $\bar{y} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 33$ ， $\sum_{i = 1}^{6} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 557$ ， $\sum_{i = 1}^{6} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 84$ ， $\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 3930$ ， $\sum_{i = 1}^{6} {(y_{i} - \hat{y})}^{2} = 236.64$ ， $e^{8.065} \approx 3167$ ，其中 $x_{i}$ ， $y_{i}$ 分别为试验数据中的温度和死亡株数， $i = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6$ .

(1)、若用线性回归模型，求

y

关于

x

的回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

（结果精确到0.1）；

(2)、若用非线性回归模型求得

y

关于

x

的回归方程

\hat{y} = 0.06 e^{0.2303 x}

，且相关指数为

R^{2} = 0.9522

(i)试与（1）中的回归模型相比，用 $R^{2}$ 说明哪种模型的拟合效果更好；

（ii）用拟合效果好的模型预测温度为 $35^{\circ} C$ 时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）.

附：对于一组数据 $(u_{1} ， v_{1})$ ， $(u_{2} ， v_{2})$ ， $\dots \dots$ ， $(u_{n} ， v_{n})$ ，其回归直线 $\hat{v} = \hat{α} + \overset{\land}{β} u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\overset{\land}{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}}$ ， $\overset{\land}{a} = \bar{v} - \overset{\land}{β} \bar{u}$ ；相关指数为： $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(v_{i} - {\overset{\land}{v}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(v_{i} - \bar{v_{i}})}^{2}}$ .

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20. 已知椭圆 $C$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点，离心率等于 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 作直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于 $M$ 点，若 $\overset{⇀}{M F} = m \overset{⇀}{A F}$ ， $\overset{⇀}{M B} = n \overset{⇀}{B F}$ ，求证： $m + n$ 为定值.

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21. 设函数 $f (x) = ln x - \frac{1}{2} a x^{2} - b x$ .

(1)、若 $x = 1$ 是 $f (x)$ 的极大值点，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 0$ ， $b = - 1$ 时，方程 $x^{2} = 2 m f (x)$ （其中 $m > 0$ ）有唯一实数解，求 $m$ 的值.

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 c o s φ \\ y = 3 s i n φ \end{matrix}$ （ $φ$ 为参数），以直角坐标系的原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程是： $\frac{1}{ρ} = \frac{2 cos θ + sin θ}{6}$

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程.

(2)、点 $P$ 是曲线 $C$ 上的动点，求点 $P$ 到直线 $l$ 距离的最大值与最小值.

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23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数 $f (x) = | x | + | x + 1 |$ .

(1)、若 $f (x) \geq | m - 1 |$ 恒成立，求实数 $m$ 的最大值 $M$ ；

(2)、在（1）成立的条件下，正数 $a, b$ 满足 $a^{2} + b^{2} = M$ ，证明： $a + b \geq 2 a b$ .

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