湖北省黄冈市2019届高三理数八模测试试卷

试卷更新日期：2019-04-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $U = A \cup^{} B$ ， $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ ， $B = {$ 10以内的素数 $}$ ，则 $∁_{U} (A \cap^{} B) =$ （）

A、 ${2, 4, 7}$ B、 $ϕ$ C、 ${4, 7}$ D、 ${1, 4, 7}$

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2. $i$ 为虚数单位，已知 $a$ 是纯虚数， $\frac{1 - a i}{1 + i}$ 与 $1 + i$ 为共轭虚数，则 $a =$ （）

A、 $i$ B、 $2 i$ C、 $- i$ D、 $- 2 i$

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3. 学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：

将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（）

A、抽样表明，该校有一半学生为阅读霸 B、该校只有50名学生不喜欢阅读 C、该校只有50名学生喜欢阅读 D、抽样表明，该校有50名学生为阅读霸

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4. 已知 $a = {(\frac{1}{3})}^{- \frac{1}{2}}$ ， $b = \frac{3}{2}$ ， $c = {log}_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $b > a > c$

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5. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则该函数的图象（）

A、关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称 B、关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 C、关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称

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6. 设等差数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等差数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2018 n - 1}{3 n + 4}$ ，则 $\frac{a_{3}}{b_{3}} =$ （）

A、528 B、529 C、530 D、531

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7. 设等边三角形 $Δ A B C$ 的边长为1，平面内一点 $M$ 满足 $\overset{⇀}{A M} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C}$ ，向量 $\overset{⇀}{A M}$ 与 $\overset{⇀}{A B}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{19}}{12}$ D、 $\frac{4 \sqrt{19}}{19}$

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8. 一个几何体的三视图如图所示，其体积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{11}{6}$ D、 $\frac{11 \sqrt{3}}{6}$

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9. 某校有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖，在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下.
甲说：“ $A$ 、 $B$ 同时获奖.”

乙说：“ $B$ 、 $D$ 不可能同时获奖.”

丙说：“ $C$ 获奖.”

丁说：“ $A$ 、 $C$ 至少一件获奖”

如果以上四位同学中有且只有两位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（）

A、作品 $A$ 与作品 $B$ B、作品 $B$ 与作品 $C$ C、作品 $C$ 与作品 $D$ D、作品 $A$ 与作品 $D$

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10. 设 $D$ 为椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 上任意一点， $A (0, - 2)$ ， $B (0 ， 2)$ ，延长 $A D$ 至点 $P$ ，使得 $|PD| = |BD|$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 20$ B、 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 20$ C、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ D、 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5$

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11. 如图， $A C = 2 R$ 为圆 $O$ 的直径， $∠ P C A = 45^{\circ}$ ， $P A$ 垂直于圆 $O$ 所在的平面， $B$ 为圆周上不与点 $A$ 、 $C$ 重合的点， $A S ⊥ P C$ 于 $S$ ， $A N ⊥ P B$ 于 $N$ ，则下列不正确的是（）

A、平面 $A N S ⊥$ 平面 $P B C$ B、平面 $A N S ⊥$ 平面 $P A C$ C、平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ D、平面 $A B C ⊥$ 平面 $P A C$

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12. 如果函数 $y = f (x)$ 在区间 $I$ 上是增函数，而函数 $y = \frac{f (x)}{x}$ 在区间 $I$ 上是减函数，那么称函数 $y = f (x)$ 是区间 $I$ 上“ $H$ 函数”，区间 $I$ 叫做“ $H$ 区间”.若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{3}{2}$ 是区间 $I$ 上“ $H$ 函数”，则“ $H$ 区间” $I$ 为（）

A、 $[0 ， \sqrt{3}]$ B、 $[1 ， \sqrt{3}]$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $[1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + x, 0 < x < 2 \\ - 2 x + 8, x \geq 2 \end{matrix}$ ，若 $f (a) = f (a + 2)$ ，则 $f (\frac{1}{a}) =$ ．

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14. 某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有种.

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15. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点，点 $A$ 为双曲线 $C$ 右支上一点， $A F_{1}$ 交左支于点 $B$ ， $Δ A F_{2} B$ 是等腰直角三角形， $∠ A F_{2} B = \frac{π}{2}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} - a_{n - 1} (n \in N^{*}, n \geq 2), a_{1} = 2018, a_{2} = 2017$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{100}$ 的值为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 c cos B = 2 a + b$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $S = \frac{\sqrt{3}}{2} c$ ，求 $a b$ 的最小值.

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18. 如图，已知多面体 $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $A_{1} A$ ， $B_{1} B$ ， $C_{1} C$ 均垂直于平面 $A B C$ ， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ， $A_{1} A = 4$ ， $C_{1} C = 1$ ， $A B = B C = B_{1} B = 2$ .

(1)、证明： $A B_{1} ⊥ A_{1} C_{1}$ ；

(2)、求平面 $A B C$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成锐二面角大小.

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19. 已知抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，抛物线的焦点到直线 $l ： y = 2 x + 2$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设点 $R (x_{0} ， 2)$ 在抛物线 $C$ 上，过点 $Q (1 ， 1)$ 作直线交抛物线 $C$ 于不同于 $R$ 的两点 $A$ 、 $B$ ，若直线 $A R$ 、 $B R$ 分别交直线 $l$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $| M N |$ 最小时直线 $A B$ 的方程.

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20. 某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该基地周光照量 $X$ （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量 $y$ （千克）与使用某种液体肥料的质量 $x$ （千克）之间的关系如图所示.

附：相关系数公式 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，

参考数据： $\sqrt{0.3} \approx 0.55$ ， $\sqrt{0.9} \approx 0.95$ .

(1)、依据上图，是否可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系？请计算相关系数 $r$ 并加以说明（精确到0.01）.（若 $| r | > 0.75$ ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

(2)、蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量 $X$ 限制，并有如下关系：

周光照量 $X$ （单位：小时）

$30 < X < 50$

$50 \leq X \leq 70$

$X > 70$

光照控制仪运行台数

3

2

1

若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} \cdot (a + ln x)$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $y = - \frac{x}{e}$ 垂直，求 $a$ 的值；

(2)、记 $f (x)$ 的导函数为 $g (x)$ ．当 $a \in (0 ， ln 2)$ 时，证明： $g (x)$ 存在极小值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) < 0$ ．

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22. 极坐标系与直角坐标系 $x O y$ 有相同的长度单位，以原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴.已知曲线 $C_{1}$ 的极坐标为 $ρ = 4 cos θ$ ，曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = m + t c o s α \\ y = t s i n α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数， $0 \leq α \leq π$ ），射线 $θ = φ$ ， $θ = φ + \frac{π}{4}$ ， $θ = φ - \frac{π}{4}$ 与曲线 $C_{2}$ 交于（不包括极点 $O$ ）三点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，

(1)、求证： $| O B | + | O C | = \sqrt{2} | O A |$ ；

(2)、当 $φ = \frac{π}{12}$ 时， $B$ ， $C$ 两点在曲线 $C_{2}$ 上，求 $m$ 与 $a$ 的值.

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23. 设函数 $f (x) = 2 | x - 1 | + | x + 2 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \geq 4$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) < | m - 2 |$ 的解集是非空的集合，求实数 $m$ 的取值范围．

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周光照量 $X$ （单位：小时）	$30 < X < 50$	$50 \leq X \leq 70$	$X > 70$
光照控制仪运行台数	3	2	1