湖北省黄冈市2019届高三文数八模模拟测试卷（二)

试卷更新日期：2019-04-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $U = A \cup^{} B$ ， $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ ， $B = {$ 10以内的素数 $}$ ，则 $∁_{U} (A \cap^{} B) =$ （）

A、 ${2, 4, 7}$ B、 $ϕ$ C、 ${4, 7}$ D、 ${1, 4, 7}$

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2. $i$ 为虚数单位，已知 $a$ 是纯虚数， $\frac{1 - a i}{1 + i}$ 与 $1 + i$ 为共轭虚数，则 $a =$ （）

A、 $i$ B、 $2 i$ C、 $- i$ D、 $- 2 i$

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3. 学校为了解新课程标准提升阅读要求对学生阅读兴趣的影响情况，随机抽取了100名学生进行调查.根据调查结果绘制学生周末阅读时间的频率分布直方图如图所示：

将阅读时间不低于30分钟的观众称为“阅读霸”，则下列命题正确的是（）

A、抽样表明，该校有一半学生为阅读霸 B、该校只有50名学生不喜欢阅读 C、该校只有50名学生喜欢阅读 D、抽样表明，该校有50名学生为阅读霸

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4. 已知 $a = {(\frac{1}{3})}^{- \frac{1}{2}}$ ， $b = \frac{3}{2}$ ， $c = {log}_{\frac{1}{2}} \frac{1}{3}$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $b > a > c$

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5. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则该函数的图象（）

A、关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称 B、关于点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 对称 C、关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称

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6. 设等差数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等差数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2018 n - 1}{3 n + 4}$ ，则 $\frac{a_{3}}{b_{3}} =$ （）

A、528 B、529 C、530 D、531

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7. 设等边三角形 $Δ A B C$ 的边长为1，平面内一点 $M$ 满足 $\overset{⇀}{A M} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{3} \overset{⇀}{A C}$ ，向量 $\overset{⇀}{A M}$ 与 $\overset{⇀}{A B}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{19}}{12}$ D、 $\frac{4 \sqrt{19}}{19}$

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8. 一个几何体的三视图如图所示，其体积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{11}{6}$ D、 $\frac{11 \sqrt{3}}{6}$

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9. 某校有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四件作品参加航模类作品比赛.已知这四件作品中恰有两件获奖，在结果揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四件参赛作品的获奖情况预测如下.
甲说：“ $A$ 、 $B$ 同时获奖.”

乙说：“ $B$ 、 $D$ 不可能同时获奖.”

丙说：“ $C$ 获奖.”

丁说：“ $A$ 、 $C$ 至少一件获奖”

如果以上四位同学中有且只有两位同学的预测是正确的，则获奖的作品是（）

A、作品 $A$ 与作品 $B$ B、作品 $B$ 与作品 $C$ C、作品 $C$ 与作品 $D$ D、作品 $A$ 与作品 $D$

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10. 设 $D$ 为椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 上任意一点， $A (0, - 2)$ ， $B (0 ， 2)$ ，延长 $A D$ 至点 $P$ ，使得 $|PD| = |BD|$ ，则点 $P$ 的轨迹方程为（）

A、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 20$ B、 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 20$ C、 $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ D、 $x^{2} + {(y + 2)}^{2} = 5$

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11. 如图， $A C = 2 R$ 为圆 $O$ 的直径， $∠ P C A = 45^{\circ}$ ， $P A$ 垂直于圆 $O$ 所在的平面， $B$ 为圆周上不与点 $A$ 、 $C$ 重合的点， $A S ⊥ P C$ 于 $S$ ， $A N ⊥ P B$ 于 $N$ ，则下列不正确的是（）

A、平面 $A N S ⊥$ 平面 $P B C$ B、平面 $A N S ⊥$ 平面 $P A C$ C、平面 $P A B ⊥$ 平面 $P B C$ D、平面 $A B C ⊥$ 平面 $P A C$

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12. 如果函数 $y = f (x)$ 在区间 $I$ 上是增函数，而函数 $y = \frac{f (x)}{x}$ 在区间 $I$ 上是减函数，那么称函数 $y = f (x)$ 是区间 $I$ 上“ $H$ 函数”，区间 $I$ 叫做“ $H$ 区间”.若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x + \frac{3}{2}$ 是区间 $I$ 上“ $H$ 函数”，则“ $H$ 区间” $I$ 为（）

A、 $[0 ， \sqrt{3}]$ B、 $[1 ， \sqrt{3}]$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $[1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 命题“ $\forall x \geq 2$ ， $x^{2} \geq 4$ ”的否定是“ ， $x^{2} < 4$ ”．

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + x, 0 < x < 2 \\ - 2 x + 8, x \geq 2 \end{matrix}$ ，若 $f (a) = f (a + 2)$ ，则 $f (\frac{1}{a}) =$ ．

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15. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点，点 $A$ 为双曲线 $C$ 右支上一点， $A F_{1}$ 交左支于点 $B$ ， $Δ A F_{2} B$ 是等腰直角三角形， $∠ A F_{2} B = \frac{π}{2}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} - a_{n - 1} (n \in N^{*}, n \geq 2), a_{1} = 2018, a_{2} = 2017$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{100}$ 的值为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 c cos B = 2 a + b$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $S = \frac{\sqrt{3}}{2} c$ ，求 $a b$ 的最小值.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C = A D = C D = \frac{1}{2} A B = 2$ ， $A B / / D C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $P C ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $M$ 为线段 $P A$ 的中点，且过 $C ， D ， M$ 三点的平面与线段 $P B$ 交于点 $N$ ，确定点 $N$ 的位置，说明理由；并求三棱锥 $A - C M N$ 的高.

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19. 已知抛物线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，抛物线的焦点到直线 $l ： y = 2 x + 2$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、设点 $R (x_{0} ， 2)$ 在抛物线 $C$ 上，过点 $Q (1 ， 1)$ 作直线交抛物线 $C$ 于不同于 $R$ 的两点 $A$ 、 $B$ ，若直线 $A R$ 、 $B R$ 分别交直线 $l$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $| M N |$ 最小时直线 $A B$ 的方程.

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20. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1月份至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下数据：

日期	1月10日	2月10日	3月10日	4月10日	5月10日	6月10日
昼夜温差 $x /^{\circ} C$	10	11	13	12	8	6
就诊人数 $y$ /个	22	25	29	26	16	12

该兴趣小组确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验.

(1)、求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；

(2)、若选取的是1月份与6月份的两组数据，请根据2月份至5月份的数据，求出

y

关于

x

的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

；

(3)、若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？

参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

参考数据： $11 \times 25 + 13 \times 29 + 12 \times 26 + 8 \times 16 = 1092$ ， $11^{2} + 13^{2} + 12^{2} + 8^{2} = 498$ .

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{ln x}{x} - a x$ ，曲线 $y = f (x ）$ 在 $x = 1$ 处的切线经过点 $(2 ， - 1)$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、设 $b > 1$ ，求 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{b} ， b]$ 上的最大值和最小值.

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22. 极坐标系与直角坐标系 $x O y$ 有相同的长度单位，以原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴.已知曲线 $C_{1}$ 的极坐标为 $ρ = 4 cos θ$ ，曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = m + t c o s α \\ y = t s i n α \end{matrix}$ （ $t$ 为参数， $0 \leq α \leq π$ ），射线 $θ = φ$ ， $θ = φ + \frac{π}{4}$ ， $θ = φ - \frac{π}{4}$ 与曲线 $C_{2}$ 交于（不包括极点 $O$ ）三点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，

(1)、求证： $| O B | + | O C | = \sqrt{2} | O A |$ ；

(2)、当 $φ = \frac{π}{12}$ 时， $B$ ， $C$ 两点在曲线 $C_{2}$ 上，求 $m$ 与 $a$ 的值.

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23. 设函数 $f (x) = 2 | x - 1 | + | x + 2 |$ ．

(1)、求不等式 $f (x) \geq 4$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) < | m - 2 |$ 的解集是非空的集合，求实数 $m$ 的取值范围．

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