湖北省恩施州2019届高三文数2月教学质量检测试卷

试卷更新日期：2019-04-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | x^{2} \geq 9}$ ， $N = {x | x \leq - 4}$ ，则 $M \cap^{} N =$ （）

A、 $(- \infty, - 4]$ B、 $[3, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 3] \cup^{} [3, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3]$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z i = 2 i (1 + i)$ ，则 $z - 2 =$ （）

A、2 B、 $2 i$ C、-2 D、 $- 2 i$

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ 的实轴长是4，则 $m =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1864人全部派遣到位需要的天数为（）

A、9 B、16 C、18 D、20

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5. 在区间 $[- 2, 7]$ 上随机选取一个实数 $x$ ，则事件“ ${log}_{2} x - 1 \geq 0$ ”发生的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{8}{9}$

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6. 下列说法中正确的个数是（）
①相关系数 $r$ 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， $| r |$ 越接近于1，相关性越弱；

②回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 过样本点中心 $(\bar{x}, \bar{y})$ ；

③相关指数 $R^{2}$ 用来刻画回归的效果， $R^{2}$ 越小，说明模型的拟合效果越不好.

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 执行如下图所示的程序框图，那么输出 $S$ 的值是（）

A、7 B、17 C、26 D、37

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8. 已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，给出下列命题：
①若 $m ∥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$ ；②若 $m ⊥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ⊥ n$ ；③若 $m, n$ 是异面直线， $m \subset α$ ， $m ∥ β$ ， $n \subset β$ ， $n ∥ α$ ，则 $α ∥ β$ ；④若 $m, n$ 不平行，则 $m$ 与 $n$ 不可能垂直于同一平面.其中为真命题的是（）

A、②③④ B、①②③ C、①③④ D、①②④

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9. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 满足 $(\overset{⇀}{a} - 2 \overset{⇀}{b}) ⊥ (3 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b})$ ，且 $| \overset{⇀}{a} | = \frac{1}{2} | \overset{⇀}{b} |$ ，则向量 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $8 + \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $8 + 4 \sqrt{3}$ C、 $8 + \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{8 + 2 \sqrt{3}}{3}$

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11. 若函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0)$ 的部分图像如图所示，则关于 $f (x)$ 的描述中正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $(- \frac{5 π}{12} ， \frac{π}{12})$ 上是减函数 B、点 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 是 $f (x)$ 的对称中心 C、 $f (x)$ 在 $(- \frac{5 π}{12} ， \frac{π}{12})$ 上是增函数 D、直线 $x = \frac{2 π}{3}$ 是 $f (x)$ 的对称轴

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12. 设函数 $f (x)$ 是定义在区间 $(0 ， + \infty)$ 上的函数， $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数， $f (x) + x ln x f^{'} (x) > 0$ ，则不等式 $\frac{ln x}{f (x)} > 0$ 的解集是（）

A、 $(\frac{1}{3} ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{1}{3})$ D、 $(0 ， 1)$

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二、填空题

13. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} e^{x - 1}, x < 1, \\ x^{\frac{1}{2}}, x \geq 1 \end{matrix}$ 则 $f (x) \leq 3$ 成立的 $x$ 的取值范围为．

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14. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} 2 x - y - 4 \leq 0 ， \\ x + y - 2 \leq 0 ， \\ 3 x - y - 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = - x + y$ 的最小值为．

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15. 在锐角 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $cos B = \frac{1}{3}$ ， $b = 4$ ， $S_{Δ A B C} = 4 \sqrt{2}$ ，则 $Δ A B C$ 的周长为．

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16. 在直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，设 $Q$ 为椭圆 $C$ 上位于 $x$ 轴上方的一点，且 $Q F_{1} ⊥ x$ 轴， $M$ 、 $N$ 为椭圆 $C$ 上不同于 $Q$ 的两点，且 $∠ M Q F_{1} = ∠ N Q F_{1}$ ，设直线 $M N$ 与 $y$ 轴交于点 $D (0, d)$ ，则 $d$ 的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $a_{2} = 15$ ， $S_{n + 1} = S_{n} + 3 a_{n} + 6$ .

(1)、证明： ${a_{n} + 3}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式以及前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $Δ A C D$ ， $Δ P A B$ 都是等腰直角三角形， $∠ A C D = 90^{\circ}$ ，四边形 $A B C D$ 是直角梯形，且 $∠ B A D = ∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A D = 2$ .

(1)、求证： $C D ⊥ P C$ ；

(2)、求点 $A$ 到平面 $P C D$ 的距离.

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19. 从甲、乙两班各随机抽取10名同学，下面的茎叶图记录了这20名同学在2018年高考语文作文题目中的成绩（单位：分）.已知语文作文题目满分为60分，“分数 $\geq 36$ 分，为及格；分数 $\geq 48$ 分，为高分”，若甲、乙两班的成绩的平均分都是44分，

(1)、求 $x ， y$ 的值；

(2)、若分别从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生，求抽到的学生中，甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率.

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20. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，其准线 $L$ ： $x = - 1$ 与 $x$ 轴的交点为 $K$ ，过点 $K$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A, B$ 两点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ，证明:存在实数 $t \in (0, 1)$ ，使得 $\overset{⇀}{K F} = t \overset{⇀}{K B} + (1 - t) \overset{⇀}{K D}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = - x e^{x} - 1$ ， $g (x) = (1 - x) e^{x} - x - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、①讨论函数 $g (x)$ 的单调性；
②求证： $e < {(\frac{11}{9})}^{10}$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程是 ${\begin{matrix} x = t, \\ y = m + \sqrt{3} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 4 cos (θ - \frac{π}{6})$ .

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $P, Q$ 分别在 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 上运动，若 $| P Q |$ 的最小值为2，求 $m$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + m | + 2 | x - 1 | (m > 0)$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，求不等式 $f (x) \leq 8$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x + 1) < 3$ 的解集为 $\emptyset$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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