黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三文数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-04-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {2, 3, 4}$ ， $B = {x | 1 + x > 3}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 ${4}$ B、 ${2}$ C、 ${3, 4}$ D、 ${2, 3}$

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2. $\frac{2 - 3 i}{1 + i} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{5}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} - \frac{5}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{5}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} + \frac{5}{2} i$

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3. 若函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2^{x} - 2^{a - x}}$ 是奇函数，则 $f (a - 1) =$ （）

A、-1 B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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4. 若 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} x + y - 1 \geq 0 ， \\ x - y + 1 \geq 0 ， \\ 3 x - y - 3 \leq 0 ， \end{matrix}$ 则 $z = 2 x - 3 y$ 的最小值为（）

A、-2 B、-3 C、-4 D、-5

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $e$ ，若 $e = \frac{3 a - b}{a}$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $2 x \pm 3 y = 0$ B、 $3 x \pm 2 y = 0$ C、 $4 x \pm 3 y = 0$ D、 $3 x \pm 4 y = 0$

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6. 随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地.在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分.第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为（）

A、 $\frac{π}{24 + 9 π}$ B、 $\frac{4 π}{24 + 9 π}$ C、 $\frac{π}{18 + 9 π}$ D、 $\frac{4 π}{18 + 9 π}$

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7. 在公比为整数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} - a_{3} = - 2$ ， $a_{1} + a_{3} = \frac{10}{3}$ ，则 ${a_{n}}$ 的前4项和为（）

A、 $\frac{40}{3}$ B、 $\frac{44}{3}$ C、 $\frac{23}{2}$ D、 $\frac{25}{2}$

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8. 运行如图程序，则输出的 $S$ 的值为（）

A、0 B、1 C、2018 D、2017

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9. 若函数 $f (x) = e^{x} (x^{3} - 3 a x - a)$ 有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{1}{4})$ D、 $(\frac{1}{4} ， + \infty)$

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10. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B C = C C_{1} = 1$ ， $∠ A B_{1} D = \frac{π}{6}$ ，则直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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11. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} cos x - sin x$ 在 $(0 ， α)$ 上是单调函数，且 $f (α) \geq - 1$ ，则 $α$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{5 π}{6}]$ B、 $(0 ， \frac{2 π}{3}]$ C、 $(0 ， \frac{π}{2}]$ D、 $(0 ， \frac{π}{3}]$

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12. 已知半圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 1 (y \geq 0)$ ， $A$ 、 $B$ 分别为半圆 $C$ 与 $x$ 轴的左、右交点，直线 $m$ 过点 $B$ 且与 $x$ 轴垂直，点 $P$ 在直线 $m$ 上，纵坐标为 $t$ ，若在半圆 $C$ 上存在点 $Q$ 使 $∠ B P Q = \frac{π}{3}$ ，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{2 \sqrt{3}}{3} ， 0) \cup^{} (0 ， \sqrt{3}]$ B、 $[- \sqrt{3} ， 0) \cup^{} (0 ， \frac{2 \sqrt{3}}{3}]$ C、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3} ， 0) \cup^{} (0 ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $[- \frac{2 \sqrt{3}}{3} ， 0) \cup^{} (0 ， \frac{2 \sqrt{3}}{3}]$

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二、填空题

13. 已知 $cos α = - \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $cos 2 α =$ ．

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14. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 3 S_{2}$ ， $a_{7} = 15$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为．

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15. 甲、乙、丙三个同学同时做标号为 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的三个题，甲做对了两个题，乙做对了两个题，丙做对了两个题，则下列说法正确的是（填所有正确说法的编号）．
①三个题都有人做对；②至少有一个题三个人都做对；③至少有两个题有两个人都做对.

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16. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的四个顶点都在球 $O$ 的球面上，且 $A C = \sqrt{3}$ ， $B D = 2$ ， $A B = B C = C D = A D = \sqrt{2}$ ，则球 $O$ 的表面积为.

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三、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $S = b c cos A$ ， $C = \frac{π}{4}$ .

(1)、求 $cos B$ 的值；

(2)、若 $c = \sqrt{5}$ ，求 $S$ 的值.

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $∠ B C D = \frac{π}{2}$ ， $P A ⊥ B D$ ， $A B = 2$ ， $P A = P D = C D = B C = 1$ .

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $P B D$ 的距离.

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19. 某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）

平均每天锻炼的时间/分钟	$[0, 10)$	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$
总人数	20	36	44	50	40	10

将学生日均体育锻炼时间在 $[40, 60)$ 的学生评价为“锻炼达标”.

(1)、请根据上述表格中的统计数据填写下面的

2 \times 2

列联表；

	锻炼不达标	锻炼达标	合计
男
女		20	110
合计

并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？

(2)、在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出5人，进行体育锻炼体会交流，再从这5人中选出2人作重点发言，求作重点发言的2人中，至少1人是女生的概率.

参考公式： $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

临界值表

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635

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20. 已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ .过焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆 $C$ 相交所得的弦长为3，直线 $y = - \sqrt{3}$ 与椭圆 $C$ 相切.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、是否存在直线 $l$ ： $y = k (x + c)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $E, D$ 两点，使得 $(\overset{⇀}{F_{2} E} - \overset{⇀}{D E}) \cdot \overset{⇀}{F_{2} E} < 1$ ？若存在，求 $k$ 的取值范围；若不存在，请说明理由！

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21. 已知函数 $f (x) = a ln x - 2 x + x^{2} (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、设 $f (x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ （ $x_{1} < x_{2}$ ），且不等式 $f (x_{1}) \geq m x_{2}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 + 2 c o s α, \\ y = 1 + 2 s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数）， $P$ 是曲线 $C_{1}$ 上的任一点，过 $P$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足为 $Q$ ，线段 $P Q$ 的中点的轨迹为 $C_{2}$ .

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、以原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若直线 $l$ ： $sin θ - cos θ = \frac{1}{ρ}$ 交曲线 $C_{2}$ 于 $M$ ， $N$ 两点，求 $| M N |$ .

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23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数 $f (x) = | x - 2 |$ .

(1)、解不等式： $f (x) + f (2 x + 1) \geq 6$ ；

(2)、对 $a + b = 1 (a, b > 0)$ 及 $\forall x \in R$ ，不等式 $f (x - m) - f (- x) \leq \frac{4}{a} + \frac{1}{b}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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