黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三理数第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-04-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. $\frac{2 - 3 i}{1 + i} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} - \frac{5}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} - \frac{5}{2} i$ C、 $\frac{1}{2} + \frac{5}{2} i$ D、 $- \frac{1}{2} + \frac{5}{2} i$

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2. 设集合 $A = {- 1, 0, 1}$ ， $B = {x | 2^{x} 〉 2}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${- 1}$ C、 ${- 1, 0}$ D、 ${0, 1}$

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3. 若 $x ， y$ 满足不等式组 ${\begin{matrix} x + y - 1 \geq 0 ， \\ x - y + 1 \geq 0 ， \\ 3 x - y - 3 \leq 0 ， \end{matrix}$ 则 $z = 2 x - 3 y$ 的最小值为（）

A、-2 B、-3 C、-4 D、-5

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $e$ ，抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点坐标为 $(1, 0)$ ，若 $e = p$ ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{3} x$ B、 $y = \pm 2 \sqrt{2} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} x$ D、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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5. 随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地.在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分.第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，则此点取自图标第三部分的概率为（）

A、 $\frac{π}{24 + 9 π}$ B、 $\frac{4 π}{24 + 9 π}$ C、 $\frac{π}{18 + 9 π}$ D、 $\frac{4 π}{18 + 9 π}$

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6. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 3 S_{2}$ ， $a_{7} = 15$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 运行如图程序，则输出的 $S$ 的值为（）

A、0 B、1 C、2018 D、2017

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8. 已知函数 $f (x) = ln (x + 1) - a x$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = 2 x$ ，则实数 $a$ 的取值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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9. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B C = C C_{1} = 1$ ， $∠ A B_{1} D = \frac{π}{6}$ ，则直线 $A B_{1}$ 与 $B C_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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10. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} cos x - sin x$ 在 $(0 ， α)$ 上是单调函数，且 $f (α) \geq - 1$ ，则 $α$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \frac{5 π}{6}]$ B、 $(0 ， \frac{2 π}{3}]$ C、 $(0 ， \frac{π}{2}]$ D、 $(0 ， \frac{π}{3}]$

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11. 已知半圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = 1 (y \geq 0)$ ， $A$ 、 $B$ 分别为半圆 $C$ 与 $x$ 轴的左、右交点，直线 $m$ 过点 $B$ 且与 $x$ 轴垂直，点 $P$ 在直线 $m$ 上，纵坐标为 $t$ ，若在半圆 $C$ 上存在点 $Q$ 使 $∠ B P Q = \frac{π}{3}$ ，则 $t$ 的取值范围是（）

A、 $[- \frac{2 \sqrt{3}}{3} ， 0) \cup^{} (0 ， \sqrt{3}]$ B、 $[- \sqrt{3} ， 0) \cup^{} (0 ， \frac{2 \sqrt{3}}{3}]$ C、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3} ， 0) \cup^{} (0 ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $[- \frac{2 \sqrt{3}}{3} ， 0) \cup^{} (0 ， \frac{2 \sqrt{3}}{3}]$

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12. 在边长为2的菱形 $A B C D$ 中， $B D = 2 \sqrt{3}$ ，将菱形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 对折，使二面角 $B - A C - D$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，则所得三棱锥 $A - B C D$ 的内切球的表面积为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $π$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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二、填空题

13. 已知 $cos α = - \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $cos 2 α =$ ．

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14. $(1 + x) {(2 + x)}^{5}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为．

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15. 已知函数 $f (x)$ 是奇函数，且 $0 \leq x_{1} < x_{2}$ 时，有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 1$ ， $f (- 2) = 1$ ，则不等式 $x - 3 \leq f (x) \leq x$ 的解集为．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足， $S_{n} = 3 a_{n} - 2$ .数列 ${n a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则满足 $T_{n} > 100$ 的最小的 $n$ 值为．

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三、解答题

17. 已知 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $S$ ，且 $S = b c cos A$ ， $C = \frac{π}{4}$ .

(1)、求 $cos B$ 的值；

(2)、若 $c = \sqrt{5}$ ，求 $S$ 的值.

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18. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $∠ B C D = \frac{π}{2}$ ， $P A ⊥ B D$ ， $A B = 2$ ，PA=PD=CD=BC=1.

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求直线 $P A$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值.

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19. 中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）

平均每天锻炼的时间/分钟	$[0, 10)$	$[10, 20)$	$[20, 30)$	$[30, 40)$	$[40, 50)$	$[50, 60)$
总人数	20	36	44	50	40	10

将学生日均体育锻炼时间在 $[40, 60)$ 的学生评价为“锻炼达标”.

(1)、请根据上述表格中的统计数据填写下面的

2 \times 2

列联表；

	锻炼不达标	锻炼达标	合计
男
女		20	110
合计

并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？

(2)、在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，

（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？

（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

参考公式： $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

临界值表

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635

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20. 已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0)$ .过焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆 $C$ 相交所得的弦长为3，直线 $y = - \sqrt{3}$ 与椭圆 $C$ 相切.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、是否存在直线 $l$ ： $y = k (x + c)$ 与椭圆 $C$ 相交于 $E, D$ 两点，使得 $(\overset{⇀}{F_{2} E} - \overset{⇀}{D E}) \cdot \overset{⇀}{F_{2} E} < 1$ ？若存在，求 $k$ 的取值范围；若不存在，请说明理由！

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x \in (\frac{1}{2} ， 2)$ 上有2个零点，求实数 $a$ 的取值范围.（注 $e^{3} > 19$ ）

(2)、设 $g (x) = f (x) - a x^{2}$ ，若函数 $g (x)$ 恰有两个不同的极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $\frac{x_{1} + x_{2}}{2} < ln (2 a)$ .

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22. 选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 + 2 c o s α, \\ y = 1 + 2 s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数）， $P$ 是曲线 $C_{1}$ 上的任一点，过 $P$ 作 $y$ 轴的垂线，垂足为 $Q$ ，线段 $P Q$ 的中点的轨迹为 $C_{2}$ .

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、以原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若直线 $l$ ： $sin θ - cos θ = \frac{1}{ρ}$ 交曲线 $C_{2}$ 于 $M$ ， $N$ 两点，求 $| M N |$ .

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23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数 $f (x) = | x - 2 |$ .

(1)、解不等式： $f (x) + f (2 x + 1) \geq 6$ ；

(2)、对 $a + b = 1 (a, b > 0)$ 及 $\forall x \in R$ ，不等式 $f (x - m) - f (- x) \leq \frac{4}{a} + \frac{1}{b}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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