广东省江门市2019届高考理数模拟第一次模拟试卷

试卷更新日期：2019-04-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. $i$ 是虚数单位，若 $\frac{m + 2 i}{2 + i}$ 是纯虚数，则实数 $m =$ （）

A、 $1$ B、 $- 1$ C、 $4$ D、 $- 4$

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2. 设集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $A = {1 ， 2 ， 4}$ ， $B = {2 ， 5}$ ，则 $A \cap^{} (C_{U} B) =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${5}$ C、 ${1 ， 4}$ D、 ${2 ， 4}$

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3. 某地气象局把当地某月（共30天）每一天的最低气温作了统计，并绘制了如下图所示的统计图，假设该月温度的中位数为 $m_{c}$ ，众数为 $m_{0}$ ，平均数为 $\bar{x}$ ，则（）

A、 $m_{c} = m_{0} = \bar{x}$ B、 $m_{c} = m_{0} < \bar{x}$ C、 $m_{c} < m_{0} < \bar{x}$ D、 $m_{0} < m_{c} < \bar{x}$

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4. 直角坐标系 $x O y$ 中，已知两点 $A (2 ， 1)$ ， $B (4 ， 5)$ ，点 $C$ 满足 $\vec{O C} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ，其中 $λ 、 μ \in R$ ，且 $λ + μ = 1$ ．则点 $C$ 的轨迹方程为（）

A、 $y = 2 x - 3$ B、 $y = x + 1$ C、 $x + 2 y = 9$ D、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 5$

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5. 根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的 $n$ 个月内累计的需求量 $S_{n}$ （单位：万件）大约是 $S_{n} = \frac{n}{27} (21 n - n^{2} - 5)$ （ $n = 1, 2, \dots, 12$ ）．据此预测，本年度内，需求量超过 $5$ 万件的月份是（）

A、5月、6月 B、6月、7月 C、7月、8月 D、8月、9月

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6. 一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若 $a = 2 \sqrt{2}$ ，且这个四棱锥的体积 $V = 16$ ，则这个四棱锥的侧面积 $S =$ （）

A、 $16$ B、 $32$ C、 $64$ D、 $32 + 32 \sqrt{2}$

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7. 若 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{4})$ ，则（）

A、 $f (1) > f (2) > f (3)$ B、 $f (3) > f (2) > f (1)$ C、 $f (2) > f (1) > f (3)$ D、 $f (1) > f (3) > f (2)$

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8. 若 $f (x) = ln x$ 与 $g (x) = x^{2} + a x$ 两个函数的图象有一条与直线 $y = x$ 平行的公共切线，则 $a =$ （）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $3$ 或 $- 1$

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9. 在二项式 ${(1 + x)}^{10}$ 的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{4}{11}$ C、 $\frac{5}{11}$ D、 $\frac{6}{11}$

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10. 直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a ， b > 0$ ）与抛物线 $y^{2} = 2 b x$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，若△ $O A B$ 是等边三角形，则该双曲线的离心率 $e =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、 $\frac{7}{6}$

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11. $A B C D$ 是球 $O$ 内接正四面体，若球 $O$ 的半径为 $1$ ，则 $(\vec{O A} + \vec{O B}) \cdot (\vec{O C} + \vec{O D}) =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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12. 若直线 $y = k (x - 1)$ 与曲线 $y = x + x ln x$ 在第一象限无交点，则正整数 $k$ 的最大值是（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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二、填空题

13. 命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是．

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14. 甲、乙、丙、丁、戊 $5$ 名学生进行劳动技术比赛，决出第 $1$ 名到第 $5$ 名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从这个回答分析， $5$ 人的名次排列可能有种不同的情况．（用数字作答）

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15. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是锐角△ $A B C$ 内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边， $S$ 是△ $A B C$ 的面积，若 $a = 8$ ， $b = 5$ ， $S = 10 \sqrt{3}$ ，则 $c =$ ．

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16. 在直角坐标系 $x O y$ 中，记 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ x - 2 y \geq 0 \\ x - y \leq 1 \end{matrix}$ 表示的平面区域为 $Ω$ ，在 $Ω$ 中任取一点 $M (x_{0} ， y_{0})$ ， $3 x_{0} - y_{0} \geq 1$ 的概率 $P =$ ．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{{(sin x + cos x)}^{2} - 1}{{cos}^{2} x - {sin}^{2} x}$ ，方程 $f (x) = \sqrt{3}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上的解按从小到大的顺序排成数列 ${a_{n}}$ （ $n \in N^{*}$ ）．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = sin a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 如左图，平面五边形 $A B C D E$ 中， $∠ B = ∠ B A D = ∠ E = ∠ C D E = 90 °$ ， $C D = D E = A E$ ，将△ $A D E$ 沿 $A D$ 折起，得到如右图的四棱锥 $P - A B C D$ ．

(1)、证明： $P C ⊥ A D$ ；

(2)、若平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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19. 已知椭圆 $Σ$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上， $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 4$ ，椭圆的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $Σ$ 的标准方程；

(2)、 $A$ 、 $B$ 是椭圆上另外两点，若△ $P A B$ 的重心是坐标原点 $O$ ，试证明△ $P A B$ 的面积为定值．（参考公式：若坐标原点 $O$ 是△ $P A B$ 的重心，则 $\vec{O P} + \vec{O A} + \vec{O B} = \vec{0}$ ）

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20. 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪

80

元，每单提成

4

元；乙公司无底薪，

40

单以内（含

40

单）的部分每单提成

6

元，大于

40

单的部分每单提成

7

元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其

50

天的送餐单数，得到如下频数表：

甲公司送餐员送餐单数频数表

乙公司送餐员送餐单数频数表

(1)、若将大于

40

单的工作日称为“繁忙日”，根据以上频数表能否在犯错误的概率不超过

0.05

的前提下认为“繁忙日”与公司有关？

(2)、若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为

X

（单位：元），求

X

的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘，你会推荐小王去哪家？为什么？

参考公式和数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} > k)$	$0.15$	$0.10$	$0.05$	$0.025$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k$	$2.072$	$2.706$	$3.841$	$5.024$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

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21. 设函数 $f (x) = e^{a x} + x^{2} - a x$ ， $e$ 是自然对数的底数， $a \in R$ 是常数．

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、讨论曲线 $y = f (x)$ 与 $y = x^{2} + 2 x$ 公共点的个数．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ ： ${\begin{matrix} x = 4 + 4 c o s α \\ y = 4 s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数），以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} - 4 ρcosθ - 4 = 0$ ．

(1)、分别求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、 $P$ 是曲线 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的一个交点，过点 $P$ 作曲线 $C_{1}$ 的切线交曲线 $C_{2}$ 于另一点 $Q$ ，求 $| P Q |$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = | x |$ ， $g (x) = - | x - 4 | + m$ ， $x \in R$ ， $m \in R$ 是常数．

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $g (| x |) + 3 - m > 0$ ；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (\frac{1}{2} x)$ 无公共点，求 $m$ 的取值范围．

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