四川省高中2019届毕业班理数第二次诊断性考试试卷

试卷更新日期：2019-04-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ，$ 2， $3}$ ， $B = {x | \frac{x - 3}{x - 2} \geq 0}$ ，则 $A \cap^{} B = ($ $)$

A、 ${1}$ B、 ${1 ， 2}$ C、 ${1 ， 3}$ D、 ${1 ，$ 2， $3}$

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2. $i$ 为虚数单位，若复数 $(1 + mi) (1 + i)$ 是纯虚数，则实数 $m = ($ $)$

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、0或1

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3. 已知 $λ \in R$ ，向量 $\vec{a} = (λ - 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (λ ， - 2)$ ，则“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”是“ $λ = 2$ ”的 $($ $)$

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作 $a_{i} (i = 1 ，$ 2，3， $\dots$ ， $50)$ ，若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是 $($ $)$

A、求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数 B、求该班学生数学科学业水平考试的不合格率 C、求该班学生数学科学业水平考试的合格人数 D、求该班学生数学科学业水平考试的合格率

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5. 在 $△ ABC$ 中，内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $acosB + bcosA = 4 sinC$ ，则 $△ ABC$ 的外接圆面积为 $($ $)$

A、 $16 π$ B、 $8 π$ C、 $4 π$ D、 $2 π$

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6. 在 $(1 + \frac{1}{x}) {(2 x + 1)}^{3}$ 展开式中的常数项为 $($ $)$

A、1 B、2 C、3 D、7

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7. 若函数 $f (x) = 2 sin (2 x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后关于 $y$ 轴对称，则函数 $f (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值为 $($ $)$

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- 1$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，双曲线的右焦点为F ，满足 $\vec{A F} \cdot \vec{B F} = 0$ ，且 $∠ A B F = \frac{π}{6}$ ，则双曲线的离心率e的值是 $($ $)$

A、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ B、 $1 + \sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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9. 节能降耗是企业的生存之本，树立一种“点点滴滴降成本，分分秒秒增效益”的节能意识，以最好的管理，来实现节能效益的最大化 $.$ 为此某国企进行节能降耗技术改造，下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润：

年号

1

2

3

4

5

年生产利润 $y ($ 单位：千万元 $)$

$0.7$

$0.8$

1

$1.1$

$1.4$

预测第8年该国企的生产利润约为 $($ $)$ 千万元

$($ 参考公式及数据： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ； $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 1.7$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2} = 10$

A、 $1.88$ B、 $2.21$ C、 $1.85$ D、 $2.34$

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10. 已知一个几何体的正视图，侧视图和俯视图均是直径为10的圆 $($ 如图 $)$ ，这个几何体内接一个圆锥，圆锥的体积为 $27 π$ ，则该圆锥的侧面积为 $($ $)$

A、 $9 \sqrt{10} π$ B、 $12 \sqrt{11} π$ C、 $10 \sqrt{17} π$ D、 $\frac{40 \sqrt{3} π}{3}$

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11. 已知 $A (3 ， 0)$ ，若点P是抛物线 $y^{2} = 8 x$ 上任意一点，点Q是圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ 上任意一点，则 $\frac{| P A |^{2}}{| P Q |}$ 的最小值为 $($ $)$

A、3 B、 $4 \sqrt{3} - 4$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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12. 设函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = x [f' (x) - ln x]$ ，且在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增，则 $f (\frac{1}{e})$ 的范围是 $(e$ 为自然对数的底数 $) ($ $)$

A、 $[- 1 ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{e}]$ D、 $(- \infty ， - 1]$

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二、填空题

13. 若 $sin α = \frac{4}{5}$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，则 $sin (α + \frac{π}{6})$ 的值为．

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14. 若函数 $f (x) = \sqrt{a - a^{x}} (a > 0, a \neq 1)$ 的定义域和值域都是 $[0, 1]$ ，则 ${log}_{a} \frac{7}{11} + {log}_{\frac{1}{a}} \frac{14}{11} =$ ．

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15. 若正实数 $x, y$ 满足 $x + y = 1$ ，则 $\frac{4}{x + 1} + \frac{1}{y}$ 的最小值为．

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16. 在体积为 $3 \sqrt{3}$ 的四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面ABCD为平行四边形，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面ABCD ，其中 $A A_{1} = 1$ ， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ，则线段BC的长度为．

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三、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 是递增数列，且 $a_{1} + a_{5} = \frac{17}{2}$ ， $a_{2} a_{4} = 4$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式

(2)、若 $b_{n} = n a_{n} (n \in N *)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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18. 今年年初，习近平在 $《$ 告台湾同胞书 $》$ 发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥 $.$ 要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量 $($ 单位：吨 $)$ ，以 $[160 ， 180)$ ， $[180 ， 200)$ ， $[200 ， 220)$ ， $[220 ， 240)$ ， $[240 ， 260)$ ， $[260 ， 280)$ ， $[280 ， 300)$ 分组的频率分布直方图如图．

(1)、求直方图中 $x$ 的值和年平均销售量的众数和中位数；

(2)、在年平均销售量为 $[220 ， 240)$ ， $[240 ， 260)$ ， $[260 ， 280)$ ， $[280 ， 300)$ 的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在 $[240 ， 260)$ ， $[260 ， 280) [280$ ， $300)$ 的农贸市场中应各抽取多少家？

(3)、在 $(2)$ 的条件下，再从 $[240 ， 260)$ ， $[260 ， 280)$ ， $[280 ， 300)$ 这三组中抽取的农贸市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动，记恰有 $ξ$ 家在 $[240 ， 260)$ 组，求随机变量 $ξ$ 的分布列与期望和方差．

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，四边形 $B B_{1} C_{1} C$ 是长方形， $A_{1} B_{1} ⊥ B C$ ， $A A_{1} = A B$ ， $A B_{1} \cap^{} A_{1} B = E$ ， $A C_{1} \cap^{} A_{1} C = F$ ，连接EF ．

(1)、证明：平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $B C = 3$ ， $A_{1} B = 4 \sqrt{3}$ ， $∠ A_{1} A B = \frac{2 π}{3}$ ，求二面角 $C_{1} - A_{1} C - B_{1}$ 的正弦值．

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20. 已知，椭圆C过点 $A (\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ ，两个焦点为 $(0, 2)$ ， $(0, - 2)$ ，E ， F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，直线EF的斜率为 $k_{1}$ ，直线l与椭圆C相切于点A ，斜率为 $k_{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、求 $k_{1} + k_{2}$ 的值．

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21. 已知 $f (x) = x ln x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x) - a x^{x} = 0$ 有两个不同解，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 在平面坐标系 $x o y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 t^{2} \\ y = 2 t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数）.以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ sin (θ - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、把曲线 $C_{1}$ 的方程化为普通方程， $C_{2}$ 的方程化为直角坐标方程

(2)、若曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 相交于 $A ， B$ 两点， $A B$ 的中点为 $P$ ，过 $P$ 点作曲线 $C_{2}$ 的垂线交曲线 $C_{1}$ 于 $E ， F$ 两点，求 $\frac{| E F |}{| P E | \cdot | P F |}$ .

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23. 已知函数 $h (x) = | x - m |, g (x) = | x + n |$ ，其中 $m > 0 ， n > 0$ .

(1)、若函数 $h (x)$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称，且 $f (x) = h (x) + | 2 x - 3 |$ ，求不等式 $f (x) > 2$ 的解集.

(2)、若函数 $φ (x) = h (x) + g (x)$ 的最小值为 $2$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值及相应的 $m$ 和 $n$ 的值.

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年号	1	2	3	4	5
年生产利润 $y ($ 单位：千万元 $)$	$0.7$	$0.8$	1	$1.1$	$1.4$