福建省2019届高中毕业班文数适应性练习（四)

试卷更新日期：2019-04-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $i$ 为虚数单位，则复数 $z = \frac{i}{3 + i}$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 设全集U=R，A={x| $2^{x (x - 2)} < 1$ }，B= ${x | y = ln (1 - x)}$ ，则右图中阴影部分表示的集合为（）

A、 ${x | x \geq 1}$ B、 ${x | x \leq 1}$ C、 ${x | 0 < x \leq 1}$ D、 ${x | 1 \leq x < 2}$

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3. 在直角坐标系 $x O y$ 中，以 $O$ 为圆心的圆与直线 $x - \sqrt{3} y = 4$ 相切，则圆 $O$ 的方程为（）

A、 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ B、 ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ C、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ D、 $x^{2} + y^{2} = 4$

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4. 已知变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 5 \leq 0 \\ x - 2 y + 1 \leq 0 \\ x - 1 \geq 0 \end{matrix}$ ，则目标函数 $z = x + 2 y - 1$ 的最大值为（）

A、9 B、8 C、7 D、6

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5. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $8 a_{2} + a_{5} = 0$ ，则下列式子中数值不能确定的是 ( )

A、 $\frac{a_{5}}{a_{3}}$ B、 $\frac{S_{5}}{S_{3}}$ C、 $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ D、 $\frac{S_{n + 1}}{S_{n}}$

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6. 将函数 $f (x) = sin (2 x - \frac{π}{3})$ $(x \in R)$ 的图象分别向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度与向左平移 $n$ ( $n$ >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则 $n$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $π$

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7. 执行如图所示的程序框图，则输出的 $S$ 的值等于（）

A、3 B、－3 C、21 D、－21

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8. 已知函数 $f (x) = a sin x - b cos x (a b \neq 0 ， x \in R)$ 在 $x = \frac{π}{4}$ 处取得最大值，则函数 $y = f (\frac{π}{4} - x)$ 是（）

A、偶函数且它的图象关于点 $(π ， 0)$ 对称 B、偶函数且它的图象关于点 $(\frac{3 π}{2} ， 0)$ 对称 C、奇函数且它的图象关于点 $(\frac{3 π}{2} ， 0)$ 对称 D、奇函数且它的图象关于点 $(π ， 0)$ 对称

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9. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图为全等的直角梯形，俯视图为直角三角形．则该几何体的表面积为（）

A、6 +12 $\sqrt{2}$ B、16 +12 $\sqrt{2}$ C、6 +12 $\sqrt{3}$ D、16 +12 $\sqrt{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = k x$ ， $g (x) = \frac{ln x}{x}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = g (x)$ 在区间 $[\frac{1}{e} ， e]$ 内有两个实数解，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{e^{2}} ， \frac{1}{2 e})$ B、 $(\frac{1}{2 e} ， \frac{1}{e}]$ C、 $(0 ， \frac{1}{e^{2}})$ D、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$

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11. 已知正三棱锥 $P$ － $A B C$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A C$ ， $P C$ 的中点，若 $E F$ ⊥ $B F$ ， $A B = 2$ ，则三棱锥 $P$ － $A B C$ 的外接球的表面积为（）

A、4 $π$ B、6 $π$ C、8 $π$ D、12 $π$

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12. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是一对相关曲线的焦点， $P$ 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、2

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二、填空题

13. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (4, 3), \overset{⇀}{b} = (- 2, 1)$ ，如果向量 $\overset{⇀}{a} + λ \overset{⇀}{b}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 垂直，则 $| 2 \overset{⇀}{a} - λ \overset{⇀}{b} |$ 的值为．

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14. 关于圆周率 $π$ ，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如注明的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 $π$ 的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对 $(x ， y)$ ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对 $(x ， y)$ 的个数 $m$ ；最后再根据统计数 $m$ 估计 $π$ 的值，假如统计结果是 $m = 34$ ，那么可以估计 $π$ 的值约为．

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15. 设锐角三角形 $A B C$ 的三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a = 2$ ， $B = 2 A$ ，则 $b$ 的取值范围为．

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16. 设函数 $f (x) = \lg \frac{\sum_{i = 1}^{m - 1} i^{x} + m^{x} a}{m}$ ，其中 $a \in R, m$ 是给定的正整数，且 $m \geq 2$ ，如果不等式 $f (x) > (x - 1) \lg m$ 在区间 $[1, + \infty)$ 有解，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ， $S_{n} = \frac{3}{2} a_{n} - 1.$
(Ⅰ)求数列 ${S_{n}}$ 的通项公式；

(Ⅱ)判断数列 ${\frac{S_{n +1}}{S_{n}}}$ 的单调性，并证明.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B C = 2$ ， $C D = \sqrt{7}$ ， $P A = \sqrt{3}$ ， $A C = 2 \sqrt{3}$ ， $B D$ 是线段 $A C$ 的中垂线， $B D \cap^{} A C = O$ ， $G$ 为线段 $P C$ 上的点.

(1)、证明：平面 $B D G ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $G$ 为 $P C$ 的中点，求四面体 $G - B C D$ 的体积.

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19. 为了弘扬传统文化，某市举办了“高中生诗词大赛”，现从全市参加比赛的学生中随机抽取 $1000$ 人的成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，其中成绩的分组区间为 $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ .

(1)、求频率分布直方图中 $m$ 的值；

(2)、在所抽取的 $1000$ 名学生中，用分层抽样的方法在成绩为 $[80 ， 100]$ 的学生中抽取了一个容量为 $5$ 的样本，再从该样本中任意抽取 $2$ 人，求 $2$ 人的成绩均在区间 $[90 ， 100]$ 内的概率；

(3)、若该市有 $10000$ 名高中生参赛，根据此次统计结果，试估算成绩在区间 $[90 ， 100]$ 内的人数.

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20. 设 $O$ 为坐标原点，动圆 $P$ 过定点 $M (4, 0)$ , 且被 $y$ 轴截得的弦长是8.
（Ⅰ）求圆心 $P$ 的轨迹 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设 $A, B$ 是轨迹 $C$ 上的动点，直线 $O A, O B$ 的倾斜角之和为 $\frac{π}{4}$ ，求证：直线 $A B$ 过定点.

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21. 已知函数 $f (x) = a x + \frac{a - 1}{x} + 1 - 2 a - ln x$ ， $a > 0$ .
（Ⅰ）若 $x = 1$ 是函数 $f (x)$ 的极小值点，求 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）设 $a = \frac{1}{2}$ ，点 $(x_{1} ， f (x_{1})) (x_{1} > 1)$ 是直线 $y = k (x - 1) (k > 0)$ 与函数 $f (x)$ 的交点，求证： $f^{'} (x_{1}) > k$ .

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22. 在直角坐标系 $x o y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 + 2 c o s φ \\ y = 2 s i n φ \end{matrix}$ （ $φ$ 为参数）.以原点 $o$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程 $ρ = 4 sin θ$ .
（Ⅰ）求曲线 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知曲线 $C_{3}$ 的极坐标方程为 $θ = α (α \in (0 ， π)) ， ρ \in R$ ，点 $A$ 是曲线 $C_{3}$ 与 $C_{1}$ 的交点，点 $B$ 是曲线 $C_{3}$ 与 $C_{2}$ 的交点，且 $A ， B$ 均异于原点 $o$ ， $A B = 4 \sqrt{2}$ ，求 $α$ 的值.

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23. 已知 $f (x) = x^{2} + | 2 x - 4 | + a$ .

(1)、当 $a = - 3$ 时，求不等式 $f (x) > x^{2} | x |$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集为实数集 $R$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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