浙江省浙南名校联盟2018-2019学年高二上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2019-04-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $B = {a ， a^{2}}$ ，则使 $B \subseteq A$ 成立的 $a$ 的值是（）

A、-1 B、0 C、1 D、-1或1

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2. 已知复数 $z = - 2 + i$ ，则 $\frac{5 i}{z} =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $- 1 - 2 i$ D、 $- 1 + 2 i$

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3. 若 $a$ 为实数，则“ $a < 1$ ”是“ $\frac{1}{a} > 1$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 若变量 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq 2 x \\ x + y \leq 1 \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值是 $($ $)$

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、0 D、 $- \frac{5}{2}$

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5. 在 $Δ A B C$ 中， $M$ 是 $B C$ 的中点， $A M = 1$ ，点 $P$ 在 $A M$ 上且满足 $\overset{⇀}{A P} = 2 \overset{⇀}{P M}$ ，则 $\overset{⇀}{P A} \cdot (\overset{⇀}{P B} + \overset{⇀}{P C})$ 等于（）

A、 $- \frac{4}{9}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{9}$

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6. 设函数 $f (x) = 2 sin (ω x + \frac{π}{3})$ ，将 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后，所得的函数为偶函数，则 $ω$ 的值可以是 $($ $)$

A、1 B、 $\frac{2}{3}$ C、2 D、 $\frac{10}{3}$

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7. 函数 $f (x) = \frac{sin x}{ln | x |}$ 的图像可能是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 ${a_{2 n - 1}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，下列说法错误的是（）

A、若 $S_{n}$ 有最大值，则 $T_{n}$ 也有最大值 B、若 $T_{n}$ 有最大值，则 $S_{n}$ 也有最大值 C、若数列 ${S_{n}}$ 不单调，则数列 ${T_{n}}$ 也不单调 D、若数列 ${T_{n}}$ 不单调，则数列 ${S_{n}}$ 也不单调

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9. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 和双曲线 $C_{2} ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 有共同的焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 是 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的交点，若 $Δ F_{1} P F_{2}$ 是锐角三角形，则椭圆 $C_{1}$ 离心率 $e$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(0 ， \frac{2 \sqrt{7}}{7})$ C、 $(\frac{1}{2} ， \frac{2 \sqrt{7}}{7})$ D、 $(\frac{2 \sqrt{7}}{7} ， 1)$

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10. 如图，在边长为1正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别为边 $B C$ ， $A D$ 的中点，将 $Δ A B F$ 沿 $B F$ 所在的直线进行翻折，将 $Δ C D E$ 沿 $D E$ 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误的是（）

A、无论旋转到什么位置， $A$ 、 $C$ 两点都不可能重合 B、存在某个位置，使得直线 $A F$ 与直线 $C E$ 所成的角为 $60 °$ C、存在某个位置，使得直线 $A F$ 与直线 $C E$ 所成的角为 $90 °$ D、存在某个位置，使得直线 $A B$ 与直线 $C D$ 所成的角为 $90 °$

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二、填空题

11. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ 的渐近线方程是；焦点坐标.

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12. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = b = \sqrt{3}$ ， $cos C = \frac{1}{3}$ ，则 $c =$ ； $Δ A B C$ 的面积是

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13. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为；表面积为．

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14. 若实数 $a > 1$ ， $b > 2$ 满足 $2 a + b - 6 = 0$ ，则 $\frac{1}{a - 1} + \frac{2}{b - 2}$ 的最小值为.

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15. 已知直线 $l ： k x - y + \frac{3}{2} - k = 0$ ，曲线 $C ： y = \sqrt{4 x - x^{2}}$ ，若直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，则 $k$ 的取值范围是； $| A B |$ 的最小值是.

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16. 点 $P$ 是边长为2的正方形 $A B C D$ 的内部一点， $| \overset{⇀}{A P} | = 1$ ，若 $\overset{⇀}{A P} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A D} (λ ， μ \in R)$ ，则 $λ + μ$ 的取值范围为.

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17. 函数 $f (x) = a^{2 x} - m a^{x} (a > 0 且 a \neq 1)$ ，若此函数图象上存在关于原点对称的点，则实数 $m$ 的取值范围是.

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C ⊥$ 平面 $A B P$ ， $B C ∥ A D$ ， $B C = B P = 1$ ， $A B = 2$ ， $A D = 5$ ， $∠ A B P = 120 °$ .

（Ⅰ）求证 $A C ⊥$ 平面 $P C D$ ；

（Ⅱ）求直线 $C D$ 与平面 $P A C$ 所成线面角的正弦值.

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三、解答题

19. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x$ .
（Ⅰ）若 $α$ 为锐角，且 $cos α = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，求 $f (α)$ 的值；

（Ⅱ）若函数 $g (x) = f (x) + {cos}^{2} x - {sin}^{2} x$ ，当 $x \in [0 ， π]$ 时，求 $g (x)$ 的单调递减区间.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 4 a_{n} + 3 (n \in N^{*})$ .
（Ⅰ）求证： ${a_{n} + 1}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）令 $b_{n} = {log}_{2} (a_{n} + 1)$ ，设数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $n λ \leq (n^{2} + 6) S_{n}$ 对一切正整数 $n$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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21. 已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $D (0 ， 1)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .过抛物线 $C_{2} ： y = x^{2}$ 上一点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 作 $C_{2}$ 的切线 $l$ 交椭圆 $C_{1}$ 于 $A$ ， $B$ 两点.

（Ⅰ）求椭圆 $C_{1}$ 的方程；

（Ⅱ）是否存在直线 $l$ ，使得 $D A ⊥ D B$ ，若存在，求出 $l$ 的方程；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ .
（Ⅰ）求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）若 $a \geq \frac{2}{e^{2}}$ ，求证： $a f (x) > ln x$ .

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