浙江省浙南名校联盟（温州九校)2018-2019学年高一上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2019-04-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. $cos 150^{\circ} = ($ $)$

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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2. 下列函数中，即不是奇函数也不是偶函数的是 $($ $)$

A、 $f (x) = | x |$ B、 $f (x) = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x}$ C、 $f (x) = 2^{x} - 2^{- x}$ D、 $f (x) = tanx$

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3. 将函数 $y = sin 2 x$ 的图象沿x轴向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则 $y = f (x)$ 是( $)$

A、 $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ C、 $y = sin (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $y = sin (2 x - \frac{π}{3})$

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4. 已知点 $A = (1 ， 0)$ ， $B = (3 ， 2)$ ，向量 $\vec{AC} = (2 ， 1)$ ，则向量 $\vec{BC} = ($ $)$

A、 $(0 ， - 1)$ B、 $(1 ， - 1)$ C、 $(1 ， 0)$ D、 $(- 1 ， 0)$

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5. 若 $tanx < 0$ ，则 $($ $)$

A、 $sinx < 0$ B、 $cosx < 0$ C、 $sin 2 x < 0$ D、 $cos 2 x < 0$

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6. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 0)$ ， $\vec{b} = (t ， 2 t)$ ，t为实数，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值是 $($ $)$

A、1 B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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7. 若m是函数 $f (x) = \sqrt{x} - 2^{x} + 2$ 的零点，则m在以下哪个区间 $($ $)$

A、 $[0 ， 1]$ B、 $[1 ， \frac{3}{2}]$ C、 $[\frac{3}{2} ， 2]$ D、 $[2 ， 3]$

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8. 已知t为常数，函数 $f (x) = | x - \frac{1}{2^{x}} - t |$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值为2，则t的值为 $($ $)$

A、 $- 1 或 - \frac{3}{2}$ B、 $\frac{1}{2} 或 - \frac{3}{2}$ C、 $1 或 - \frac{3}{2}$ D、 $1 或 \frac{3}{2}$

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9. 在 $△ ABC$ 中， $AB = 2$ ，若 $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = - \frac{1}{2}$ ，则 $∠ A$ 的最大值是 $($ $)$

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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10. 已知函数 $f (x)$ 是偶函数，且 $f (5 - x) = f (5 + x)$ ，若 $g (x) = f (x) sinπx$ ， $h (x) = f (x) cosπx$ ，则下列说法错误的是 $($ $)$

A、函数 $y = h (x)$ 的最小正周期是10 B、对任意的 $x \in R$ ，都有 $g (x + 5) = g (x - 5)$ C、函数 $y = h (x)$ 的图象关于直线 $x = 5$ 对称 D、函数 $y = g (x)$ 的图象关于 $(5 ， 0)$ 中心对称

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二、填空题

11. 已知向量 $\vec{a} = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}), \vec{b} = (\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ； $\vec{a} 与 \vec{b}$ 的夹角为．

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12. 已知 $cos (α - \frac{π}{4}) = \frac{3}{5}$ ，且 $α \in (0, \frac{π}{4})$ ，则 $sin (α - \frac{π}{4}) =$ ； $sinα =$ ．

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13. 已知函数 $f (x) = cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ ，则 $f (x)$ 的最小正周期是； $f (x)$ 的对称中心是．

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14. 已知二次函数 $f (x) = x^{2} + mx - 3$ 的两个零点为1和n，则 $n =$ ；若 $f (a) \leq f (3)$ ，则a的取值范围是．

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15. 已知对数函数 $f (x)$ 的图象过点 $(4, - 2)$ ，则不等式 $f (x - 1) - f (x + 1) > 3$ 的解集．

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16. 函数 $f (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{2^{x}} ， x \leq 0 \\ 2 s i n (2 x + \frac{5 π}{6}) ， 0 < x < π \end{matrix}$ ，若方程 $f (x) = a$ 恰有三个不同的解，记为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3}$ 的取值范围是.

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17. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别为边AB，DC上动点，则 $\vec{EA} \cdot \vec{EF}$ 的取值范围是．

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三、解答题

18. 已知 $A = {x | x^{2} + ax - 3 < 0}$ ， $B = {x | {log}_{2} x < 1}$ ，
$($ Ⅰ $)$ 当 $a = 2$ 时，求 $B \cap^{} (∁_{R} A)$ ；

$($ Ⅱ $)$ 若 $[2, 3] \subseteq A$ ，求实数a的取值范围．

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19. 已知向量 $\vec{a} = (sinx, 1), \vec{b} = (1, cosx)$ ．
$($ Ⅰ $)$ 求 $| \vec{a} + \vec{b} |$ 的取值范围；
$($ Ⅱ $)$ 若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，求 $sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{(x + 1) (x - t)}{x^{2}}$ 为偶函数，
$($ Ⅰ $)$ 求实数t的值；

$($ Ⅱ $)$ 是否存在实数 $b > a > 0$ ，使得当 $x \in [a, b]$ 时，函数 $f (x)$ 的值域为 $[2 - \frac{2}{a}, 2 - \frac{2}{b}]$ ？若存在请求出实数a，b的值，若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = {sin}^{4} x + asinx \cdot cosx + {cos}^{4} x .$
$($ Ⅰ $)$ 当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的值域；

$($ Ⅱ $)$ 若方程 $f (x) = 2$ 有解，求实数a的取值范围．

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22. 已知函数 $y = x + \frac{1}{x}$ 在 $(0, 1)$ 上是减函数，在 $[1, + \infty)$ 上是增函数 $.$ 若函数 $f (x) = | x - a | - \frac{1}{x} (a \in R)$ ，利用上述性质，
$($ Ⅰ $)$ 当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调递增区间 $($ 只需判定单调区间，不需要证明 $)$ ；

$($ Ⅱ $)$ 设 $f (x)$ 在区间 $(0, 2]$ 上最大值为 $g (a)$ ，求 $y = g (a)$ 的解析式；

$($ Ⅲ $)$ 若方程 $| f (x) - a | = 2$ 恰有四解，求实数a的取值范围．

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