浙江省衢州市五校联考2018-2019学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-04-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1, 5}$ ， $B = {1, 3, 4}$ ，则 $A \cup^{} B =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${1, 3, 5}$ C、 ${1, 3, 4, 5}$ D、 ${3, 4, 5}$

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2. 设向量 $\overset{⇀}{a} = (2, 2, 0)$ ， $\overset{⇀}{b} = (cos α, - \frac{1}{2}, 1)$ ， $(0 ° < α < 180 °)$ ，若 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则角 $α =$ （）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $120 °$ D、 $150 °$

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3. 过抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点作直线交抛物线于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，如果 $x_{1} + x_{2} = 4$ ，则 $| A B | =$ （）

A、4 B、5 C、6 D、8

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4. 直线 $l_{1} : 2 x - m y - 1 = 0$ ， $l_{2} : (m - 1) x - y + 3 = 0$ ，则“ $m = 2$ ”是“ $l_{1} ∥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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5. 下列命题正确的是（）

A、若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行. B、若平面 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ，则平面 $α ⊥ β$ . C、若 $l$ ， $m$ 是两条不同的直线， $m ⊥$ 平面 $α$ ， $l ∥ α$ ，则 $l ⊥ m$ . D、若一条直线上的两个点到平面 $α$ 的距离相等，则这条直线平行于平面 $α$ .

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6. 直线 $l : y = - \sqrt{3} x + 1$ 与圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $Δ O A B$ 的面积为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. 函数 $f (x) = x^{3} ln | x |$ 的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $N$ 是棱 $A D$ 的中点， $M$ 是棱 $C C_{1}$ 上的点，且 $C C_{1} = 3 C M$ ，则直线 $B M$ 与 $B_{1} N$ 所成的角的余弦值是（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{15}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{20}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{30}$

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9. 过双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 右焦点，且垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $O$ 是坐标原点.若 $∠ A O B = ∠ O A B$ ，设双曲线 $C$ 的离心率为 $e$ ，则 $e^{2} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{39}}{6}$ B、 $\frac{14 + \sqrt{13}}{6}$ C、 $\frac{8 + \sqrt{13}}{6}$ D、 $\frac{7 + \sqrt{13}}{6}$

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二、填空题

10. 直线 $\sqrt{3} x - y + 6 = 0$ 的斜率为；倾斜角为.

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11. 双曲线 $C : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的焦距为；渐近线方程是.

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12. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示（单位： $c m$ ），则该“堑堵”的体积为 $c m^{3}$ ，表面积为 $c m^{2}$ .

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13. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $M$ 为边 $B C$ 上一点， $\overset{⇀}{B C} = 4 \overset{⇀}{B M}$ ， $∠ A M C = \frac{π}{3}$ ， $A M = 2$ ， $Δ A M C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ，则 $| C M | =$ ； $cos ∠ B A C =$ .

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14. 对于直线 $l$ 上任意一点 $P (x, y)$ ，点 $Q (x + y, 2 x + y)$ 在此直线 $l$ 上，则直线 $l$ 的方程为.

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15. 已知圆 $M : x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + a^{2} - 1 = 0$ 与圆 $N : x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 2 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且这两点平分圆 $N$ 的圆周，则圆 $M$ 半径最小时圆 $M$ 的方程为.

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三、解答题

16. 已知 $f (x) = 4 cos x sin (x + \frac{π}{3}) - \sqrt{3}$ .
（Ⅰ）求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

（Ⅱ）求 $f (x)$ 的最小正周期及单调增区间.

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17. 已知 $f (x) = 2 x^{2} + 2 a x + a + 4$ .
（Ⅰ）若任意 $x \in R$ ，都有 $f (x) > 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

（Ⅱ）若对于任意的 $a \in [1, 2]$ ，存在 $x \in [1, 3]$ 使关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq b$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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18. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知底面 $A B C$ 为腰长为1的等腰直角三角形，且 $∠ A C B = 90 °$ ， $C C_{1} = 2$ ， $D$ ， $E$ 分别是棱 $C C_{1}$ ， $A A_{1}$ 的中点.

（Ⅰ）求证：直线 $D B_{1} ⊥$ 平面 $B D E$ ；

（Ⅱ）求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $B D E$ 所成的角的正弦值.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $a_{1} = 2$ ， $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}} (n \in N^{*})$ ，且数列 ${b_{n}}$ 为公差为1的等差数列.
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 $c_{n} = \frac{a_{n}}{3^{n}}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，对于一切 $n \in N^{*}$ ， $S_{n} \in (m, m + 6)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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20. 已知椭圆 $C : \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1, 0)$ ，且它的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点.
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）若弦 $A B$ 的中点 $M$ 到椭圆 $C$ 中心的距离为1，求弦长 $| A B |$ 的最大值；

（Ⅲ）过原点 $O$ 作直线 $m ⊥ A B$ ，垂足为 $P$ ，若 $| O P | = 1$ ， $| A P | \cdot | P B | = \frac{1}{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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