浙江省金华十校2018-2019学年高三上学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2019-04-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如果全集 $U = R$ ， $A = {y | y = x^{2} + 2 ， x \in R}$ ， $B = {y | y = 2^{x} ， x 〉 0)$ ，则 $(∁_{U} A) \cap^{} B = ($ $)$

A、 $[1 ， 2]$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $[1 ， 2)$

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2. 已知条件p： $x > 1$ ，条件 $q ： \frac{1}{x} \leq 1$ ，则p是q的 $($ $)$

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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3. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \geq 0 \\ 3 x - y - 6 \leq 0 \\ x - y \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 3 x + y$ 的最小值是 $($ $)$

A、6 B、5 C、4 D、 $\frac{9}{2}$

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4. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的一个焦点在圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 5 = 0$ 上，则双曲线的渐近线方程为 $($ $)$

A、 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3} x$ D、 $y = \pm \frac{3 \sqrt{2}}{4} x$

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5. 已知 $x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ ， $sin x = - \frac{3}{5}$ ，则 $tan 2 x = ($ $)$

A、 $\frac{7}{24}$ B、 $- \frac{7}{24}$ C、 $\frac{24}{7}$ D、 $- \frac{24}{7}$

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6. 把函数 $f (x) = 2 cos (2 x - \frac{π}{4})$ 的图象向左平移 $m (m > 0)$ 个单位，得到函数 $g (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，则m的最小值是 $($ $)$

A、 $\frac{7}{24} π$ B、 $\frac{17}{24} π$ C、 $\frac{5}{24} π$ D、 $\frac{19}{24} π$

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7. 已知 ${(x + 1)}^{4} + {(x - 2)}^{8} = a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} {(x - 1)}^{2} \dots + a_{8} {(x - 1)}^{8}$ ，则 $a_{3} = ($ $)$

A、64 B、48 C、 $- 48$ D、 $- 64$

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8. 若关于x的不等式 $x^{3} - 3 x^{2} - a x + a + 2 \leq 0$ 在 $x \in (- \infty ， 1]$ 上恒成立，则实数a的取值范围是 $($ $)$

A、 $(- \infty ， - 3]$ B、 $[- 3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 3]$ D、 $[3 ， + \infty)$

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9. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足： $| \vec{a} | = 2$ ， $< \vec{a}$ ， $\vec{b} > = 60^{\circ}$ ，且 $\vec{c} = - \frac{1}{2} \vec{a} + t \vec{b} (t \in R)$ ，则 $| \vec{c} | + | \vec{c} - \vec{a} |$ 的最小值为 $($ $)$

A、 $\sqrt{13}$ B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$

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10. 如图所示，在底面为正三角形的棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，记锐二面角 $A_{1} - A B - C$ 的大小为 $α$ ，锐二面角 $B_{1} - B C - A$ 的大小为 $β$ ，锐二面角 $C_{1} - A C - B$ 的大小为 $γ$ ，若 $α > β > γ$ ，则 $($ $)$

A、 $A A_{1} > B B_{1} > C C_{1}$ B、 $A A_{1} > C C_{1} > B B_{1}$ C、 $C C_{1} > B B_{1} > A A_{1}$ D、 $C C_{1} > A A_{1} > B B_{1}$

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二、填空题

11. 已知复数z的共轭复数 $\bar{z} = \frac{1 + i}{2 - i}$ ，则复数z的虚部是， $| z | =$ ．

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12. 一个口袋里装有大小相同的5个小球，其中红色两个，其余3个颜色各不相同 $.$ 现从中任意取出3个小球，其中恰有2个小球颜色相同的概率是；若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的数学期望 $E (X) =$ ．

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13. 记等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} > 0$ ， $a_{2} + a_{2017} = 0$ ，则 $S_{2018} =$ ；当 $S_{n}$ 取得最大值时， $n =$ ．

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14. 一个棱柱的底面是边长为6的正三角形，侧棱与底面垂直，其三视图 $($ 如图 $)$ 所示，则这个棱柱的体积为，此棱柱的外接球的表面积为．

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15. 某高中高三某班上午安排五门学科 $($ 语文，数学，英语，化学，生物 $)$ 上课，一门学科一节课，要求语文与数学不能相邻，生物不能排在第五节，则不同的排法总数是．

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16. 已知 $x^{2} + 2 y^{2} - \sqrt{3} x y = 1 (x, y \in R)$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最小值为．

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17. 已知F为抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，点A在抛物线上，点B在抛物线的准线上，且A，B两点都在x轴的上方，若 $F A ⊥ F B$ ， $tan ∠ F A B = \frac{1}{3}$ ，则直线FA的斜率为．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} sin x cos x - 2 {cos}^{2} x + 1$ ．
$($ Ⅰ $)$ 求 $f (\frac{7 π}{12})$ 的值；

$($ Ⅱ $)$ 已知锐角 $△ A B C$ ， $f (A) = 1$ ， $S_{△ A B C} = \frac{1}{2}$ ， $b + c = 2 \sqrt{2}$ ，求边长a．

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19. 数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = S_{n} + 1 (n \in N_{+}) .$
$($ Ⅰ $)$ 求通项公式 $a_{n}$ ；

$($ Ⅱ $)$ 记 $T_{n} = \frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{n}}$ ，求证： $\frac{3}{2} - \frac{1}{2^{n}} \leq T_{n} < 2$ ．

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20. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = A B = A C$ ，H为P点在平面ABC的投影 $. ∠ P A B = ∠ P A C = 120^{\circ}$ ， $A B ⊥ A C$ ．
$($ Ⅰ $)$ 证明： $B C ⊥$ 平面PHA；

$($ Ⅱ $)$ 求AC与平面PBC所成角的正弦值．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 1)$ ，过点 $P (1 ， 0)$ 分别作斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 交椭圆于A，B两点，直线 $l_{2}$ 交椭圆于C，D两点，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N．

$($ Ⅰ $)$ 若 $k = 1$ ， $| A B | = \frac{8 \sqrt{2}}{5}$ ，求椭圆方程；

$($ Ⅱ $)$ 若 $k_{1} k_{2} = - 1$ ，求 $△ P M N$ 面积的最大值．

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22. 已知 $f (x) = \frac{a}{x} + ln x$ ， $g (x) = e^{- x}$ ，其中 $a \in R$ ， $e = 2.718 \dots$ 为自然对数的底数．
$(I)$ 若函数 $g (x)$ 的切线l经过 $(1 ， 0)$ 点，求l的方程；

$($ Ⅱ $)$ 若函数 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{2}{e})$ 为递减函数，试判断 $φ (x) = f (x) - g (x)$ 函数零点的个数，并证明你的结论．

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