浙江省金华十校2018-2019学年高一上学期数学期末调研考试试卷

试卷更新日期：2019-04-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设全集 $U = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 4}$ ， $B = {2 ， 3 ， 5}$ ，则 $(C_{U} A) \cup^{} B =$ （）

A、 ${2}$ B、 ${3 ， 5}$ C、 ${0 ， 2 ， 3 ， 5}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 在正方形中，点 $E$ 为 $C D$ 边的中点，则（）

A、 $\overset{⇀}{A E} = \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ B、 $\overset{⇀}{A E} = \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{2} \overset{⇀}{A D}$ C、 $\overset{⇀}{A E} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A D}$ D、 $\overset{⇀}{A E} = - \frac{1}{2} \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A D}$

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3. 最小正周期为 $π$ ，且图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称的一个函数是（）

A、 $y = sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{6})$ B、 $y = sin (2 x + \frac{π}{6})$ C、 $y = cos (2 x - \frac{π}{6})$ D、 $y = sin (2 x - \frac{π}{6})$

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4. 以下给出的对应关系 $f$ ，能构成从集合 $A = (- 1, 1)$ 到集合 $B = (- 1, 1)$ 的函数的是（）

A、 $f : x \to 2 x$ B、 $f : x \to | x |$ C、 $f : x \to x^{\frac{1}{2}}$ D、 $f : x \to tan x$

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5. 要得到函数 $y = sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象，只需将函数 $y = sin x$ 的图象（）

A、先向左平移 $\frac{π}{3}$ 平移，再横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B、先向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标保持不变. C、先横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位. D、先横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标保持不变，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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6. 函数 $f (x) = ln | x | - \frac{1}{2} | x | + \frac{1}{2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知在梯形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C ， A D / / B C$ ，且 $A B = 3$ ， $B C = 4$ ，点 $M$ 为 $C D$ 中点，则（）

A、 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{A B}$ 是定值 B、 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{A C}$ 是定值 C、 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{A D}$ 是定值 D、 $\overset{⇀}{A M} \cdot \overset{⇀}{B C}$ 是定值

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8. 已知函数 $f (x) = {(x - a)}^{k}$ ，角A ， B ， C为锐角 $△ A B C$ 的三个内角，则 $($ $)$

A、当 $k = 1$ ， $a = 2$ 时， $f (sin A) < f (cos B)$ B、当 $k = 1$ ， $a = 2$ 时， $f (cos A) > f (sin B)$ C、当 $k = 2$ ， $a = 1$ 时， $f (sin A) > f (cos B)$ D、当 $k = 2$ ， $a = 1$ 时， $f (cos A) > f (sin B)$

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9. 在平面内，已知向量 $\overset{⇀}{a} = (1, 0)$ ， $\overset{⇀}{b} = (0, 1)$ ， $\overset{⇀}{c} = (1, 1)$ ，若非负实数 $x, y, z$ 满足 $x + y + z = 1$ ，且 $\overset{⇀}{p} = x \overset{⇀}{a} + 2 y \overset{⇀}{b} + 3 z \overset{⇀}{c}$ ，则（）

A、 $| \overset{⇀}{p} |$ 的最小值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $| \overset{⇀}{p} |$ 的最大值为 $2 \sqrt{3}$ C、 $| \overset{⇀}{p} |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $| \overset{⇀}{p} |$ 的最大值为 $3 \sqrt{3}$

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10. 若对任意实数 $x \in [a, b]$ ，均有 $sin x cos x - m (sin x + cos x) + m^{2} \leq 0$ 恒成立，则下列结论中正确的是（）

A、当 $m = 1$ 时， $b - a$ 的最大值为 $\frac{π}{2}$ B、当 $m = \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时， $b - a$ 的最大值为 $π$ C、当 $m = \frac{1}{2}$ 时， $b - a$ 的最大值为 $π$ D、当 $m = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 时， $b - a$ 的最大值为 $\frac{π}{2}$

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二、填空题

11. 函数 $f (x) = \frac{{(x - 2)}^{0}}{\sqrt{x - 1}}$ 的定义域为；函数 $y = 2^{- | x |}$ 的值域为．

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12. 已知两个向量 $\vec{m} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{n} = (2, t)$ ，
$(1)$ 若 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ ，则 $t =$ ；

$(2)$ 若 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的夹角为 $30^{\circ}$ ，则 $t =$ ．

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13. 关于 $x$ 的方程 $sin x + \sqrt{3} cos x + 1 = 0$ 在 $[0, 2 π]$ 的解是.

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14. 已知函数 $f (x) = x^{2} + x + a$ ，若存在实数 $x \in [- 1, 1]$ ，使得 $f (f (x) + a) > 4 a f (x)$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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三、解答题

15. 设集合 $A = {x | x^{2} - a x - 6 a^{2} \leq 0}$ ， $B = {x | {log}_{2} (x + 2) \leq 3}$ .

(1)、求集合 $B$ ；

(2)、若 $A \cap^{} B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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16. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以 $x$ 轴正半轴为始边的锐角 $α$ 和钝角 $β$ 的终边与单位圆分别交于点 $A ， B$ ， $x$ 轴正半轴与单位圆交于点 $M$ ，已知 $S_{Δ M O B} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

(1)、求 $sin 2 β$ ；

(2)、求 $\overset{⇀}{O A} \cdot (\overset{⇀}{O M} + \overset{⇀}{O B})$ 的最大值.

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17. 设平面向量 $\overset{⇀}{a} = (cos x, sin x)$ ， $\overset{⇀}{b} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ， $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ .

(1)、求 $cos (x - \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、若 $x \in [\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$ ，求 $cos 2 x$ 的值.

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18. 已知 $a, b \in R$ ，函数 $f (x) = \frac{4 \cdot 3^{x} + a}{3^{x} + 1}$ 满足 $y = f (x) - b$ 为奇函数；

(1)、求实数 $a, b$ 的关系式；

(2)、当 $b = 3$ 时，若不等式 $f ({log}_{5} t) > \frac{5}{2}$ 成立，求实数 $t$ 可取的最小整数值.

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19. 已知 $f (x) = (x - 1) | x - a |$ ．

(1)、若 $a = \frac{3}{2}$ ，求 $f (x)$ 在 $x \in [0 ， 2]$ 上的最大值；

(2)、若 $f (x) \leq | a x - 1 |$ 在 $x \in [0 ， 2]$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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