浙江省杭州地区（含周边)重点中学2018-2019学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-04-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ，$ 2， $3}$ ， $B = {2 ，$ 3， $6}$ ，那么 $A \cap^{} B = ($ $)$

A、 ${1 ， 6}$ B、 ${2 ， 3}$ C、 ${1 ，$ 2， $3}$ D、 ${1 ，$ 2，3， $6}$

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2. 已知角 $α$ 的终边经过点 $P (3 ， - 4)$ ，则 $tan α = ($ $)$

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3. 在 $△ A B C$ 中，点D为边AB的中点，则向量 $\vec{C D} = ($ $)$

A、 $\frac{1}{2} \vec{C A} + \frac{1}{2} \vec{C B}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{C A} - \frac{1}{2} \vec{C B}$ C、 $- \frac{1}{2} \vec{C A} + \frac{1}{2} \vec{C B}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{C A} - \frac{1}{2} \vec{C B}$

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4. 设 $a = {log}_{2} 5 ， b = {(\frac{1}{2})}^{5} ， c = {log}_{5} \frac{1}{2}$ ，则a，b，c的大小关系为 $($ $)$

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $a < b < c$

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5. 下列函数中，既是奇函数又在区间 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数的是 $($ $)$

A、 $y = x^{3} - \frac{1}{x}$ B、 $y = tan x$ C、 $y = 2^{x}$ D、 $y = sin x$

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6. 若函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | \leq π)$ 局部图象如图所示，则函数 $y = f (x)$ 的解析式为 $($ $)$

A、 $y = \frac{3}{2} sin (2 x + \frac{π}{6})$ B、 $y = \frac{3}{2} sin (2 x - \frac{π}{6})$ C、 $y = \frac{3}{2} sin (2 x + \frac{π}{3})$ D、 $y = \frac{3}{2} sin (2 x - \frac{π}{3})$

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7. 已知函数 $f (x)$ 为奇函数， $g (x)$ 为偶函数，且 $2^{x + 1} = f (x) + g (x)$ ，则 $g (1) = ($ $)$

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、4

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8. 已知函数 $f (x) = \sqrt{1 + cos x} + \sqrt{3 - 3 cos x}$ ，则 $y = f (x)$ 的最大值为 $($ $)$

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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9. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1 ， | \vec{a} \cdot \vec{b} | \geq 2$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值是 $($ $)$

A、4 B、3 C、2 D、1

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10. 若函数 $f (x) = x | x | + a | x | + 3$ 在区间 $[3 ， + \infty)$ 和 $(- \infty ， - 1]$ 上均为增函数，则实数a的取值范围是 $($ $)$

A、 $[- 3 ， 1]$ B、 $[- 6 ， 1]$ C、 $[- 3 ， 2]$ D、 $[- 6 ， 2]$

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二、填空题

11. 计算： $cos \frac{11}{3} π =$ ．

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12. 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为24米，则该扇形田的面积为平方米．

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13. 求值： $8^{\frac{2}{3}} - {log}_{3} 2 {log}_{2} 27 =$ ．

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14. 已知幂函数 $f (x) = x^{α} (0 < α < 1)$ 满足 $f (α) = \sqrt{α}$ ，则 $f (4) =$ ．

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15. 已知平面向量 $\vec{a}, \vec{b}, | \vec{a} | = 1, | \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ，则 $| \vec{b} | =$ ．

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16. 已知 $0 \leq α \leq \frac{π}{2}, cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{4}$ ，则 $sin (α + \frac{5 π}{12}) =$ ．

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17. 已知函数 $f (x) = | x^{2} - t | + \frac{t}{x^{2}}$ 的最小值为与t无关的常数，则t的范围是．

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = {(sin x + cos x)}^{2} + 2 {sin}^{2} x$ ；

(1)、求 $f (\frac{π}{4})$ 的值；

(2)、求函数 $y = f (x)$ 的周期及单调递增区间；

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19. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，向量 $\vec{O A} = (1, 2), \vec{O B} = (- 2, 1)$

(1)、若C是AB所在直线上一点，且 $O C ⊥ A B$ ，求C的坐标．

(2)、若 $\vec{O D} = λ (\vec{O A} + \vec{O B})$ ，当 $\vec{O D} \cdot (\vec{D A} + \vec{D B}) = - 10$ ，求 $λ$ 的值．

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20. 已知函数 $f (x) = \sqrt{2^{x} - 1} + 1$

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域及其值域．

(2)、若函数 $y = 2^{x} - m f (x)$ 有两个零点，求m的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - x + 1 - a$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $y = f (x)$ 在 $[- 3, 3]$ 上的最大值与最小值．

(2)、当 $a > 0$ 时，记 $g (x) = \frac{f (x)}{x}$ ，若对任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [- 3, - 1]$ ，总有 $| g (x_{1}) - g (x_{2}) | \leq a + \frac{1}{3}$ ，求a的取值范围．

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