浙江省绍兴市2018-2019学年高一上学期数学期末调测试卷

试卷更新日期：2019-04-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {1 ，$ 2，3，4， $5}$ ， $∁_{U} A = {1 ，$ 3， $5}$ ，则 $A = ($ $)$

A、 ${1 ，$ 2，3，4， $5}$ B、 ${1 ，$ 3， $5}$ C、 ${2 ， 4}$ D、 $ϕ$

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2. 以下运算正确的是（）

A、 $lg 2 \times lg 3 = lg 6$ B、 ${(lg 2)}^{2} = lg 4$ C、 $lg 2 + lg 3 = lg 5$ D、 $lg 4 - lg 2 = lg 2$

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3. 已知 $x \in R$ ，则下列等式恒成立的是 $($ $)$

A、 $sin (- x) = sin x$ B、 $sin (π - x) = sin x$ C、 $sin (π + x) = sin x$ D、 $sin (2 π - x) = sin x$

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4. 函数 $f (x) = \sqrt{{log}_{2} (x - 1)}$ 的定义域是 $($ $)$

A、 ${x | x 〉 2}$ B、 ${x | x 〉 1}$ C、 ${x | x \geq 2}$ D、 ${x | x \geq 1}$

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5. 已知 $\cos θ \cdot \tan θ < 0$ ，那么角 $θ$ 是（）

A、第一或第二象限角 B、第二或第三象限角 C、第三或第四象限角 D、第一或第四象限角

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6. 若 $a = 2^{0.5}$ ， $b = {log}_{3} 2$ ， $c = {log}_{2} sin 1$ ，则 $($ $)$

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $b > c > a$

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7. 函数 $f (x) = x^{2} sin x$ 的图象大致为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，有一块半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是 $⊙ O$ 的直径，上底CD的端点在圆周上，为研究这个梯形周长的变化情况，有以下两种方案：方案一：设腰长 $A D = x$ ，周长为 $L (x)$ ；方案二：设 $∠ B A D = θ$ ，周长为 $L' (θ)$ ，当x， $θ$ 在定义域内增大时 $($ $)$

A、 $L (x)$ 先增大后减小， $L' (θ)$ 先减小后增大 B、 $L (x)$ 先增大后减小， $L' (θ)$ 先增大后减小 C、 $L (x)$ 先减小后增大， $L' (θ)$ 先增大后减小 D、 $L (x)$ 先减小后增大， $L' (θ)$ 先减小后增大

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9. 设函数 $f (x)$ 的定义域为D，若对任意 $a \in D$ ，存在唯一的实数 $b \in D$ 满足 $f^{2} (a) = 2 f (b) + f (a)$ ，则 $f (x)$ 可以是 $($ $)$

A、 $sin x$ B、 $x + \frac{1}{x}$ C、 $ln x$ D、 $e^{x}$

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10. 设函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，若 $0 < 2 f (2) = 3 f (3) = 4 f (4) < 1$ ，则 $f (1) + f (5)$ 的取值范围是 $($ $)$

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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二、填空题

11. 已知角 $α$ 的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合， $P (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ 为角 $α$ 终边上一点，角 $π - α$ 的终边与单位圆的交点为 $P' (x, y)$ ，则 $x - y =$ ．

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三、解答题

12. 已知 $tan α = \frac{1}{3}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2}) .$
$($ Ⅰ $)$ 求 $tan (π + α)$ 的值；

$($ Ⅱ $)$ 求 $\frac{sin α + 2 cos α}{5 cos α - sin α}$ 的值

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13. 已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{5 π}{6}) .$
$($ Ⅰ $)$ 求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

$($ Ⅱ $)$ 把函数 $f (x)$ 图象上的所有点向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 的解析式．

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14. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x \leq 0}$ ， $B = {x | x^{2} - (3 m - 1) x + 2 m^{2} - m \leq 0}$ ， $C = {y | y = 2^{1 - x^{2}} + b}$ ．
$($ Ⅰ $)$ 若 $A \cup^{} B = [- 1, 2]$ ，求实数m的范围；

$($ Ⅱ $)$ 若 $A \cap^{} C = ϕ$ ，求实数b的取值范围．

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15. 已知函数 $f (x) = lg \frac{1 - x}{1 + x}$ ．
$($ Ⅰ $)$ 设a， $b \in (- 1, 1)$ ，证明： $f (a) + f (b) = f (\frac{a + b}{1 + a b})$ ；

$($ Ⅱ $)$ 当 $x \in [0, \frac{π}{2})$ 时，函数 $y = f ({sin}^{2} x) + f (m cos x + 2 m)$ 有零点，求实数m的取值范围．

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16. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a x$ ， $a \in R$ ．
$($ Ⅰ $)$ 记 $f (x)$ 在 $x \in [1 ， 2]$ 上的最大值为M，最小值为m．

$(i)$ 若 $M = f (2)$ ，求a的取值范围；

$(i i)$ 证明： $M - m \geq \frac{1}{4}$ ；

$($ Ⅱ $)$ 若 $- 2 \leq f (f (x)) \leq 2$ 在 $[1 ， 2]$ 上恒成立，求a的最大值．

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