浙江省宁波市2018-2019学年高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-04-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x \in R | 0 \leq x \leq 8}, Q = {x \in R | | x | < 7}$ ，则 $P \cup^{} Q =$ （）.

A、 $[7, 8]$ B、 $(- 7, 8]$ C、 $(- \infty, 8]$ D、 $(- 7, + \infty)$

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2. 已知平面 $α$ ，直线 $m, n$ 满足 $m ⊄ α, n \subset α$ ，则“ $m / / n$ ”是“ $m / / α$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $y = f (x) (x \in R)$ 存在导函数，若 $f (x)$ 既是周期函数又是奇函数，则其导函数（）

A、既是周期函数又是奇函数 B、既是周期函数又是偶函数 C、不是周期函数但是奇函数 D、不是周期函数但是偶函数

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4. 设 ${(x^{2} - 3 x + 2)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{8} x^{8}$ ，则 $a_{7} =$ （）.

A、-4 B、-8 C、-12 D、-16

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5. 关于 $x ， y$ 的不等式组 ${\begin{matrix} 2 x - y + 3 > 0 \\ x + m < 0 \\ y - m > 0 \end{matrix}$ 表示的平面区域内存在点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ，满足 $x_{0} - 2 y_{0} = 3$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 3)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 1)$ D、 $(- 1 ， - \infty)$

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6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{1}{3} + \frac{π}{12}$ B、 $\frac{1}{3} + \frac{π}{4}$ C、 $1 + \frac{π}{4}$ D、 $1 + \frac{π}{12}$

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7. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{2}{3}, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{2 (2 n + 1) a_{n} + 1}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前2018项和 $S_{2018} =$ （）.

A、 $\frac{4036}{4037}$ B、 $\frac{4035}{4036}$ C、 $\frac{4034}{4035}$ D、 $\frac{4033}{4034}$

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8. 已知 $ξ$ 是离散型随机变量，则下列结论错误的是（）

A、 $P (| ξ | \leq \frac{1}{3}) \leq P (ξ^{2} \leq \frac{1}{3})$ B、 ${(E (ξ))}^{2} \leq E (ξ^{2})$ C、 $D (ξ) = D (1 - ξ)$ D、 $D (ξ^{2}) = D ({(1 - ξ)}^{2})$

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9. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e$ 的取值范围为 $[\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$ ，直线 $y = - x + 1$ 交椭圆于点 $M, N, O$ 为坐标原点且 $O M ⊥ O N$ ，则椭圆长轴长的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{7}, \sqrt{8}]$ B、 $[\sqrt{6}, \sqrt{7}]$ C、 $[\sqrt{5}, \sqrt{6}]$ D、 $[\sqrt{8}, \sqrt{9}]$

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10. 在空间直角坐标系中， $\overset{⇀}{O A} = (2 a, 2 b, 0), \overset{⇀}{O B} = (c - 1, d, 1), O$ 为坐标原点，满足 $a^{2} + b^{2} = 1, c^{2} + d^{2} = 4$ ，则下列结论中不正确的是（）

A、 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B}$ 的最小值为-6 B、 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B}$ 的最大值为10 C、 $| A B |$ 最大值为 $\sqrt{26}$ D、 $| A B |$ 最小值为1

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二、填空题

11. 设 $i$ 为虚数单位，给定复数 $z = \frac{{(1 - i)}^{2}}{1 + i}$ ，则 $z$ 的虚部为；模为

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12. 已知实数 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ 若 ${log}_{a} \frac{7}{8} = 2$ ，则 $a + \frac{1}{a} =$ ；若 $0 < {log}_{a} \frac{7}{8} < 1$ ，则实数 $a$ 的取值范围是

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13. 将函数 $f (x) = 2 sin x$ 的图像的每一个点横坐标缩短为原来的一半，再向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图像，则 $g (x) =$ ；若函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{a}{3}] ， [2 a ， \frac{7 π}{6}]$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是

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14. 在 $Δ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 中点，经过 $A D$ 中点 $E$ 的直线交线段 $A B ， A C$ 于点 $M ， N$ ，若 $\overset{⇀}{A B} = m \overset{⇀}{A M} ， \overset{⇀}{A C} = n \overset{⇀}{A N}$ ，则 $m + n =$ ；该直线将原三角形分成的两部分，即三角形 $A M N$ 与四边形 $B C N M$ 面积之比的最小值是

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15. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前14项和 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{14} = 77$ ，已知 $a_{1}, a_{11}$ 均为正整数，则公差 $d =$ .

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16. 农历戊戌年即将结束，为了迎接新年，小康、小梁、小谭、小刘、小林每人写了一张心愿卡，设计了一个与此心愿卡对应的漂流瓶.现每人随机的选择一个漂流瓶将心愿卡放入，则事件“至少有两张心愿卡放入对应的漂流瓶”的概率为

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17. 已知不等式 $\frac{x - k^{2} + 3 k}{x - ln k} > 0$ 对任意正整数 $k$ 均成立，则实数 $x$ 的取值范围

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三、解答题

18. 如图所示，已知 $O P Q$ 是半径为1，圆心角为 $\frac{π}{3}$ 的扇形， $O$ 是坐标原点， $O P$ 落在 $x$ 轴非负半轴上，点 $Q$ 在第一象限， $C$ 是扇形弧上的一点， $A B C D$ 是扇形的内接矩形.

(1)、当 $C$ 是扇形弧上的四等分点（靠近 $Q$ ）时，求点 $C$ 的纵坐标；

(2)、当 $C$ 在扇形弧上运动时，求矩形 $A B C D$ 面积的最大值.

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19. 如图所示，四面体 $A B C D$ 中， $Δ A B C$ 是正三角形， $Δ A C D$ 是直角三角形， $O$ 是 $A C$ 的中点，且 $∠ A B D = ∠ C B D ， A B = B D$ .

(1)、求证： $O D ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、过 $A C$ 的平面交 $B D$ 于点 $E$ ，若平面 $A E C$ 把四面体 $A B C D$ 分成体积相等的两部分，求二面角 $D - A E - C$ 的余弦值.

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20. 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.
某同学模仿先贤用石子摆出了如下图3的图形，图3中的2，5，7，9，…，这些数能够表示成梯形，将其称为梯形数.

(1)、请写出梯形数的通项公式 $a_{n}$ （不要求证明），并求数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{S_{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < 1$ .

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21. 过抛物线 $x^{2} = 2 y$ 的焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A ， B$ 两点，抛物线在 $A ， B$ 处的切线交于 $E$ .

(1)、求证： $E F ⊥ A B$ ；

(2)、设 $\overset{⇀}{A F} = λ \overset{⇀}{F B}$ ，当 $λ \in [\frac{1}{3} ， \frac{1}{2}]$ 时，求 $Δ A B E$ 的面积 $S$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ ，其中 $a ， b$ 为实数.

(1)、若函数 $f (x)$ 的图像关于点 $(1 ， 0)$ 对称，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $- 6 \leq a \leq - \frac{3}{4}$ ，且 $2 a + b + 3 = 0$ ， $t$ 为函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ 的极小值点，求 $\frac{f (t)}{a}$ 的取值范围.

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