浙江省宁波市2017-2018学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2019-04-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知圆C的方程为 ${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 2$ ，则它的圆心和半径分别为 $($ $)$

A、 $(- 2 ， 3)$ ，2 B、 $(2 ， - 3)$ ，2 C、 $(- 2 ， 3)$ ， $\sqrt{2}$ D、 $(2 ， - 3)$ ， $\sqrt{2}$

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2. 直线 $\sqrt{3} x + y + 1 = 0$ 的倾斜角为 $($ $)$

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{6}$

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3. 已知空间向量 $\vec{a} = (3 ，$ 1， $0)$ ， $\vec{b} = (x ， - 3 ， 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = ($ $)$

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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4. 已知直线 $a x + y - 2 + a = 0$ 在两坐标轴上的截距相等，则实数 $a = ($ $)$

A、1 B、 $- 1$ C、 $- 2$ 或1 D、2或1

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5. 对于实数m，“ $1 < m < 2$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{m - 1} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ 表示双曲线”的 $($ $)$

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 设x，y满足 ${\begin{matrix} 2 x + y \geq 4 \\ x - y \geq - 1 \\ x - 2 y \leq 2 \end{matrix}$ ，则z=x+y（）

A、有最小值2，最大值3 B、有最小值2，无最大值 C、有最大值3，无最小值 D、既无最小值，也无最大值

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7. 设 $a ， b$ 为两条不同的直线， $α ， β$ 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A、若 $a$ 不平行于 $α$ ，则在 $α$ 内不存在 $b$ ，使得 $b$ 平行于 $a$ B、若 $a$ 不垂直于 $α$ ，则在 $α$ 内不存在 $b$ ，使得 $b$ 垂直于 $a$ C、若 $α$ 不平行于 $β$ ，则在 $β$ 内不存在 $a$ ，使得 $a$ 平行于 $α$ D、若 $α$ 不垂直于 $β$ ，则在 $β$ 内不存在 $a$ ，使得 $a$ 垂直于 $α$

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8. 已知两点 $M (- 2 ， 0)$ ， $N (2 ， 0)$ ，若直线 $y = k (x - 3)$ 上存在四个点 $P (i = 1 ，$ 2，3， $4)$ ，使得 $△ M N P$ 是直角三角形，则实数k的取值范围是 $($ $)$

A、 $(- 2 ， 2)$ B、 $(- \frac{4}{5} ， \frac{4}{5})$ C、 $(- \frac{4}{5} ， 0) \cup^{} (0 ， \frac{4}{5})$ D、 $(- \frac{2 \sqrt{5}}{5} ， 0) \cup^{} (0 ， \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

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9. 已知双曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ ， $C_{2}$ ： $\frac{y^{2}}{m^{2}} - \frac{x^{2}}{n^{2}} = 1 (m > 0 ， n > 0)$ ，若双曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的渐近线方程均为 $y = \pm k x (k > 0)$ ，且离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，则 $e_{1} + e_{2}$ 的最小值为 $($ $)$

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题

10. 椭圆 $x^{2} + \frac{y^{2}}{5^{2}} = 1$ 的长轴长为，左顶点的坐标为．

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11. 命题“若整数a，b都是偶数，则 $a + b$ 是偶数”的否命题可表示为，这个否命题是一个命题 $. ($ 可填：“真”，“假”之一 $)$

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12. 已知圆C： $x^{2} + y^{2} - 4 x + a = 0$ ，则实数a的取值范围为；若圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆C外切，则a的值为．

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13. 已知AE是长方体 $A B C D - E F G H$ 的一条棱，则在这个长方体的十二条棱中，与AE异面且垂直的棱共有条 $.$

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3^{2}} = 1 (a > 0)$ 的一个焦点为 $F_{1} (5 ， 0) ，$ 设另一个为 $F_{2}$ ，P是双曲线上的一点，若 $| {PF}_{1} | = 9$ ，则 $| {PF}_{2} | =$ $. ($ 用数值表示 $)$

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15. 如图，在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E是BC的中点，P是平面 $C D D_{1} C_{1}$ 内一点，且满足 $S_{△ A P D} = S_{△ C P E}$ ，则线段 $C_{1} P$ 的长度的取值范围为．

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三、解答题

16. 如图， $α / / β / / γ$ ，直线a与b分别交 $α$ ， $β$ ， $γ$ 于点A，B，C和点D，E，F

$($ Ⅰ $)$ 求证： $\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}$ ；

$($ Ⅱ $)$ 若 $A B = B C$ ， $A D = 2$ ， $B E = \sqrt{7}$ ， $C F = 4$ ，求直线AD与CF所成的角．

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17. 如图，在四棱锥 $M - A B C D$ 中，平面 $A B C D ⊥$ 平面MCD，底面ABCD是正方形，点F在线段DM上，且 $A F ⊥ M C$ ．

$($ Ⅰ $)$ 证明： $M C ⊥$ 平面ADM；

$($ Ⅱ $)$ 若 $A B = 2$ ， $D M = M C$ ，且直线AF与平面MBC所成的角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，试确定点F的位置．

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18. 已知抛物线C： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为F，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，O为坐标原点，记经过M，F，O三点的圆的圆心为Q，且点Q到抛物线C的准线的距离为 $\frac{3}{2}$ ．
$($ Ⅰ $)$ 求点Q的纵坐标； $($ 可用p表示 $)$

$($ Ⅱ $)$ 求抛物线C的方程；

$($ Ⅲ $)$ 设直线l： $y = k x + \frac{1}{2}$ 与抛物线C有两个不同的交点A， $B .$ 若点M的横坐标为2，且 $△ Q A B$ 的面积为 $2 \sqrt{5}$ ，求直线l的方程．

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19. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，直线l： $y = - \frac{\sqrt{2}}{2} x$ 与椭圆E相交于M，N两点，点P是椭圆E上异于M，N的任意一点，若点M的横坐标为 $- \sqrt{2}$ ，且直线l外的一点Q满足： $\vec{M Q} ⊥ \vec{M P}$ ， $\vec{N Q} ⊥ \vec{N P}$ ．
$($ Ⅰ $)$ 求椭圆E的方程；

$($ Ⅱ $)$ 求点Q的轨迹；

$($ Ⅲ $)$ 求 $△ M N Q$ 面积的最大值．

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