广西贺州市2018-2019学年高二上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2019-04-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1, 0, 1}$ ， $B = {x | - 1 < x < 1}$ ，则 $A \cup^{} B =$ （）

A、 ${- 1, 1}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$ D、 ${x | x \leq 1}$

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = n^{2} + n + 1$ ，则 $a_{3} = ($ $)$

A、4 B、9 C、12 D、13

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3. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 中， $a^{2} = 10$ ， $c = 2$ ，则该椭圆标准方程为 $($ $)$

A、 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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4. 设 $a, b \in R$ ，则“ $a > b$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充分必要条件 B、既不充分也不必要条件 C、充分不必要条件 D、必要不充分条件

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5. 已知 $f (x) = x + \frac{2}{x}$ ，则曲线 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为：（）

A、 $2 x - y + 1 = 0$ B、 $x - y - 4 = 0$ C、 $x + y - 2 = 0$ D、 $x + y - 4 = 0$

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6. 若x，y满足 ${\begin{matrix} y \geq 2 x \\ x + y \geq 3 \\ y \leq 3 \end{matrix}$ ，则 $x - y$ 的最小值为 $($ $)$

A、 $- 5$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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7. 设抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} = - 2017$ ， $S_{6} - 2 S_{3} = 18$ ，则 $S_{2019} = ($ $)$

A、 $- 2017$ B、2017 C、2018 D、2019

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9. 若函数 $f (x) = k x - ln x$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递增，则k的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2]$ B、 $(- \infty ， - 1]$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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10. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知 $b cos A = (2 c - a) cos B$ ， $c = 2$ ， $a = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积是 $($ $)$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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11. 设 $f^{'} (x)$ 是定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 的导函数， $f^{'} (x) < 3$ ， $f (- 1) = 4$ ，则 $f (x) > 3 x + 7$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(- \infty ， - 3)$ C、 $(- 3 ， 0) \cup^{} (1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 0) \cup^{} (1 ， + \infty)$

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12. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0. b > 0)$ 的左，右焦点，O是坐标原点 $.$ 过 $F_{2}$ 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若 $| P F_{1} | = \sqrt{6} | O P |$ ，则C的离心率为 $($ $)$

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 27$ ， $a_{4} = a_{3} a_{5}$ ，则 $a_{7} =$ ．

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14. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为．

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15. 已知函数 $f (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2 π} x^{2} - cos x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{3}) =$ ．

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16. 设 $a \in R$ ，若 $x > 0$ 时均有 $(x^{2} + a x - 5) (a x - 1) \geq 0$ 成立，则 $a =$ ．

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三、解答题

17. 解关于x的不等式 $a x^{2} - (a + 1) x + 1 > 0 (a \geq 0)$

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18. 如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点 $M (2 ， 1)$ ，平行于OM的直线l在y轴上的截距为 $m (m \neq 0)$ ，直线l交椭圆于A，B两个不同点．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、求m的取值范围．

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19. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} = 3 n^{2} - n$ ， $(n \in N *)$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n} + 2}{3^{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $c = b sin A + b cos A$ .

(1)、求 $B$ 的大小；

(2)、若角 $A$ 的平分线与 $B C$ 相交于 $D$ 点， $A D = A C$ ， $B D = 2$ ，求 $C D$ 的长.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 ln x - x^{2} + a x (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的图像在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - a x + m$ 在 $[\frac{1}{e} ， e]$ 上有两个零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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22. 已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆过点 $(\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2}) .$ 设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求 $△ OPQ$ 面积的取值范围．

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