广西贺州市2018-2019学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2019-04-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ，$ 0， $1}$ ， $B = {x | | x | < 1}$ ，则 $A \cup^{} B = ($ $)$

A、 ${- 1 ， 1}$ B、 ${- 1 ，$ 0， $1}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq 1}$ D、 ${x | x \leq 1}$

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{n} = n^{2} + n + 1$ ，则 $a_{3} = ($ $)$

A、4 B、9 C、12 D、13

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3. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 中， $a^{2} = 10$ ， $c = 2$ ，则该椭圆标准方程为 $($ $)$

A、 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{6} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

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4. 若向量 $\vec{a} = (1 ， - 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1 ， - 3)$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | = ($ $)$

A、 $\sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{10}$

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5. 设 $a, b \in R$ ，则“ $a > b$ ”是“ $a | a | > b | b |$ ”成立的（）

A、充要不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充要也不必要条件

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6. 若x，y满足 ${\begin{matrix} y \geq 2 x \\ x + y \geq 3 \\ y \leq 3 \end{matrix}$ ，则 $x - y$ 的最小值为 $($ $)$

A、 $- 5$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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7. 设抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点P到y轴的距离是2，则点P到该抛物线焦点的距离是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8. 设 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} = - 2017$ ， $S_{6} - 2 S_{3} = 18$ ，则 $S_{2019} = ($ $)$

A、 $- 2017$ B、2017 C、2018 D、2019

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9. 下列各组两个向量中，平行的一组向量是（ $)$

A、 $\vec{a} = (1, - 2, 3)$ ， $\vec{b} = (1,$ 2， $1)$ B、 $\vec{a} = (0, - 3, 3)$ ， $\vec{b} = (0,$ 1， $- 1)$ C、 $\vec{a} = (0, - 3, 2)$ ， $\vec{b} = (0,$ 1， $- \frac{3}{2})$ D、 $\vec{a} = (1, - \frac{1}{2}, 3)$ ， $\vec{b} = (2, - 1, \frac{3}{2})$

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10. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知 $b cos A = (2 c - a) cos B$ ， $c = 2$ ， $a = 1$ ，则 $△ A B C$ 的面积是 $($ $)$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{3}$

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11. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0. b > 0)$ 的左，右焦点，O是坐标原点 $.$ 过 $F_{2}$ 作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若 $| P F_{1} | = \sqrt{6} | O P |$ ，则C的离心率为 $($ $)$

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，若P点在正方体的内部，且满足 $\vec{A P} = \frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$ ，则平面PAB与平面ABCD所成二面角的余弦值为 $($ $)$

A、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ B、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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二、填空题

13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 27$ ， $a_{4} = a_{3} a_{5}$ ，则 $a_{7} =$ ．

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14. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为．

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15. 已知 $\vec{a} = (1, - 1, 2)$ ， $\vec{b} = (1,$ 1， $- 1)$ ，则 $cos < \vec{a}$ ， $\vec{b} > =$ ．

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16. 设 $a \in R$ ，若 $x > 0$ 时均有 $(x^{2} + a x - 5) (a x - 1) \geq 0$ 成立，则 $a =$ ．

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三、解答题

17. 解关于x的不等式 $a x^{2} - (a + 1) x + 1 > 0 (a \geq 0)$

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18. 如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点 $M (2 ， 1)$ ，平行于OM的直线l在y轴上的截距为 $m (m \neq 0)$ ，直线l交椭圆于A，B两个不同点．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、求m的取值范围．

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19. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} = 3 n^{2} - n$ ， $(n \in N *)$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{a_{n} + 2}{3^{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $c = 3 a cos B$ ， $b = 4 a cos C$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若 $a = \sqrt{5}$ ，求 $S_{△ A B C}$ ．

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21. 如图，已知四棱锥P-ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点.

（I）证明：CE∥平面PAB；

（II）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值

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22. 已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的椭圆过点 $(\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2}) .$ 设不过原点O的直线l与该椭圆交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求 $△ OPQ$ 面积的取值范围．

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