浙江省杭州市滨江区“江浦兴涛”四校2019届九年级12月五科联赛数学试卷

试卷更新日期：2019-03-26 类型：竞赛测试

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一、单选题

1. 抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2的概率是（）

A、 B、 C、 $\frac{1}{2}$ D、

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2. 如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（）

A、60° B、90° C、120° D、150°

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3. 如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα= $\frac{12}{13}$ ，则小车上升的高度是（）

A、5米 B、6米 C、6.5米 D、12米

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4. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知，C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB=2，则BC=（）

A、3﹣ $\sqrt{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ （ $\sqrt{5}$ +1） C、 $\sqrt{5}$ ﹣1 D、 $\frac{1}{2}$ （ $\sqrt{5}$ ﹣1）

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6. 如图，正方形ABCD中，分别以B，D为圆心，以正方形的边长a为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 二次函数y=（x﹣a）（x﹣b）﹣2，（a＜b）的图象与x轴交点的横坐标为m，n，且m＜n，则a，b，m，n的大小关系是（）

A、a＜m＜n＜b B、a＜m＜b＜n C、m＜a＜b＜n D、m＜a＜n＜b

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9. 已知∠ADB，作图．
步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交DA、DB于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ MN长为半径画弧交于点E，画射线DE．

步骤2：在DB上任取一点O，以点O为圆心，OD长为半径画半圆，分别交DA、DB、DE于点P、Q、C；

步骤3：连结PQ、OC．则下列判断：① $\overset{⌢}{P C} = \overset{⌢}{C Q}$ ；②OC∥DA；③DP=PQ；④OC垂直平分PQ，其中正确的结论有（）

A、①③④ B、①②④ C、②③④ D、①②③④

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10. 已知函数y=mx²+nx﹣3，且2m﹣n=1，若不论m取何正数时，函数值y都随自变量x的增大而减小，则满足条件的x的取值范围是（）

A、﹣4≤x≤﹣2 B、-2≤x≤- $\frac{1}{2}$ C、1＜x≤3 D、3≤x≤5

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二、填空题

11. 若7x=3y，则 $\frac{x}{y}$ = ．

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12. 如图，直线l₁、l₂、…l₆是一组等距的平行线，过直线l₁上的点A作两条射线，分别与直线l₃、l₆相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．

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13. 如图，某小型水库栏水坝的横断面是四边形ABCD ， DC∥AB ，测得迎水坡的坡角α=30°，已知背水坡的坡比为1.2：1，坝顶部DC宽为2m ，坝高为6m ，则坝底AB的长为m ．

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14. 已知函数y=x²+mx-2（m为常数），该函数的图象与x轴交点的个数是．

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15. 如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O， $\overset{⏜}{A B}$ =90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为cm² ．

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16. 如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角（如∠O）为60°，A，B，C，D都在格点上，且线段AB、CD相交于点P，则∠APC的正切值为．

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三、解答题

17. 如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m．

(1)、求∠BCD的度数．

(2)、求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）

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18. 节能灯根据使用寿命分成优等品、正品和次品三个等级，其中使用寿命大于或等于8000小时的节能灯是优等品，使用寿命小于6000小时的节能灯是次品，其余的节能灯是正品．质检部门对某批次的一种节能灯（共200个）的使用寿命进行追踪调查，并将结果整理成此表．
寿命（小时）
频数
频率
4000≤t≤5000
10
0.05
5000≤t＜6000
20
a
6000≤t＜7000
80
0.40
7000≤t＜8000
b
0.15
8000≤t＜9000
60
c
合计
200
1

(1)、根据分布表中的数据，写出a，b，c的值；

(2)、某人从这200个节能灯中随机购买1个，求这种节能灯恰好不是次品的概率．

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19. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且 $\frac{A D}{A C} = \frac{D F}{C G}$ ．

(1)、求证：△ADF∽△ACG；

(2)、若 $\frac{A D}{A C} = \frac{1}{2}$ ，求 $\frac{A F}{F G}$ 的值．

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20. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在 $O$ 点上正方 $1 m$ 的处发出一球，羽毛球飞行的高度 $y (m)$ 与水平距离 $x (m)$ 之间满足函数表达式 $y = a {(x - 4)}^{2} + h$ ．已知点 $O$ 与球网的水平距离为 $5 m$ ，球网的高度为 $1.55 m$ ．

(1)、当 $a = - \frac{1}{24}$ 时，①求 $h$ 的值．②通过计算判断此球能否过网．

(2)、若甲发球过网后，羽毛球飞行到点 $O$ 的水平距离为 $7 m$ ，离地面的高度为 $\frac{12}{5} m$ 的 $Q$ 处时，乙扣球成功，求 $a$ 的值．

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21. 已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且CB=CD，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．

(1)、试说明：DE=BF；

(2)、若∠DAB=60°，AB=6，求CF的长．

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22. 如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=12cm，∠B=90°．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，设移动时间为t（s）．

(1)、当t=4时，求△PBQ的面积；

(2)、当t为多少时，四边形APQC的面积最小？最小面积是多少？

(3)、当t为多少时，△PQB与△ABC相似．

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23. 二次函数y= $(m - 1) x^{m^{2} + m} - 6 x + 9$ 的图象与x轴交于点A和点B，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

(1)、求出m的值并求出点A、点B的坐标．

(2)、当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；

(3)、是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

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寿命（小时）	频数	频率
4000≤t≤5000	10	0.05
5000≤t＜6000	20	a
6000≤t＜7000	80	0.40
7000≤t＜8000	b	0.15
8000≤t＜9000	60	c
合计	200	1