广东省珠海市2018-2019学年高三上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2019-03-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 复数 $\frac{1}{i - 1}$ 的共轭复数是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 4}$ ， $B = {x | x = 2 n - 1 ， n \in N^{*}}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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3. 函数 $f (x) = 2^{x} + \frac{1}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知向量 $\overset{⇀}{a}$ =( $λ ， 2$ )， $\overset{⇀}{b}$ =(-1，1)，若 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | = | \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b} |$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $- 1$ C、 D、

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5. 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中一男一女同学的概率为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 双曲线 $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一条渐近线方程为 $y = 3 x$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 B、 C、 $3$ D、

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7. 已知点 $P (x, y)$ 满足方程 $\sqrt{{(x - 3)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x + 3)}^{2} + y^{2}} = 10$ ，则点 $P$ 的轨迹为（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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8. 将函数 $f (x) = \sin (x + φ) (| φ | < \frac{π}{2})$ 图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得的图象关于 $y$ 轴对称，则 $φ =$ （）

A、 B、 C、 D、 $\frac{π}{6}$

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9. 若 $cos (\frac{π}{3} - α) = \frac{1}{4}$ 则 $cos (\frac{π}{3} + 2 α) =$ （）

A、 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、

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10. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $A D_{1}$ 与面 $B D D_{1} B_{1}$ 所成角的正弦为（）

A、 B、 $\frac{1}{2}$ C、 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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11. 若 $x 、 y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \leq 4 \\ x - y + 2 \geq 0 \\ y \geq 0 \end{matrix}$ ，目标函数 $z = a x + y$ 取得最大值时的最优解仅为 $(1 ， 3)$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 B、 C、 D、

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12. $\forall x \in R$ 有 $f (x) = 2 f (x + 1)$ ，且 $x \in [0 ， 1)$ 时， $f (x) = 16 x$ ，则方程 $f (x) = lg x$ 的根有（）

A、 $6$ 个 B、 $5$ 个 C、个 D、 $3$ 个

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二、填空题

13. 曲线f(x)= $e^{x} - a x$ 的图象在点（0，f(0)）处的切线斜率为2，则实数a的值为．

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14. 某班级 $A, B, C, D$ 四位学生 $A 、 B 、 C 、 D$ 参加了文科综合知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测得冠军的是 $A$ 或 $B$ ；历史老师预测得冠军的是 $C$ ；政治老师预测得冠军的不可能是 $A$ 或 $D$ ；语文老师预测得冠军的是 $B$ ，而班主任老师看了竞赛结果后说以上只有两位老师都说对了，则得冠军的是。

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15. 在 $Δ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $A C = 4$ ， $cos B = \frac{1}{9}$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，则 $A D =$ ．

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16. 已知长方体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 的棱长分别为3、4、5，一只蚂蚁由长方体的顶点 $A^{'}$ 出发，沿长方体表面爬行到点 $C$ ，则蚂蚁爬行的最短路程长为．

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三、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，公差 $d = - 2$ ，且 $a_{1}, a_{3}, a_{4}$ 成等比数列．

(1)、求 $a_{n}$ ， $S_{n}$ ；

(2)、设 $T_{n} = | a_{1} | + | a_{2} | + \dots + | a_{n} |$ ，求 $T_{n}$ ．

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18. 几何体 $A B C D E$ 中，四边形 $A B D E$ 为直角梯形， $A E / / B D$ ， $A E ⊥ A B$ ，面 $A B D E ⊥$ 面 $A B C$ ， $B D = 2 A B = 2 A E = 2 A C = 4$ ，三棱锥 $A - B C E$ 的体积为 $\frac{4}{3}$ .

(1)、求证： $A C ⊥$ 面 $A B D E$ ；

(2)、求点 $A$ 到面 $C D E$ 的距离.

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19. 某花卉经销商销售某种鲜花，售价为每支5元，成本为每支2元．销售宗旨是当天进货当天销售．当天未售出的当垃圾处理．根据以往的销售情况，按 $[0 ， 100)$ $[100 ， 200)$ $[200 ， 300)$ $[300 ， 400)$ $[400 ， 500)$ 进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、根据频率分布直方图计算该种鲜花日需求量的平均数 $\bar{x}$ ，同一组中的数据用该组区间中点值代表；

(2)、该经销商某天购进了400支这种鲜花，假设当天的需求量为x枝， $0 \leq x \leq 500$ ，利润为y元，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式，并结合频率分布直方图估计利润 $y$ 不小于800元的概率．

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20. 动圆P过点 $F (0 ， 1)$ ，且与直线 $y = - 1$ 相切，设动圆圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、过点F的直线交曲线C于A，B两个不同的点，过点A，B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M，若直线 $M F$ 的斜率为 $- \frac{1}{2}$ ，求直线 $A B$ 的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = a x - ln x$ .

(1)、求函数 $f (x) = a x - ln x$ 的单调性；

(2)、当函数 $f (x) = a x - ln x$ 有两个不同零点时，设两个零点分别为 $x_{1} 、 x_{2}$ ，求证 $x_{1} x_{2} < \frac{1}{a^{2}}$ .

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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = - 4 + \frac{1}{2} t \end{matrix}$ (t为参数)，以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的坐标方程为 $ρ = r (r > 0)$ ，直线L与曲线C分别交于M，N两点

(1)、写出曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、若点P的直角坐标为（0，-4）且M为线段PN的中点，求r的值

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23. 已知 $f (x) = | 2 x + 1 | + | x - 2 |$

(1)、求 $f (x)$ 的值域；

(2)、若不等式 $f (x) + | x - 2 | \geq a$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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