广东省肇庆市2018-2019学年高三上学期文数第二次（1月）统一检测试卷

试卷更新日期：2019-03-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $P = {x | x^{2} - 2 x < 0}$ ， $Q = {x | - 1 < x < 1}$ ，则 $P \cap^{} Q =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 若复数 $z$ 满足 $z = \frac{1 + 2 i}{1 + i}$ ，则 $| z |$ $=$ （）

A、 B、 $\frac{3}{2}$ C、 D、 $\frac{1}{2}$

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3. 下列函数中，既是奇函数，又在其定义域上单调递增的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ x+y-3 \geq 0 \\ x-2y \leq 0 \end{matrix} ，则 z = x + 2 y$ 的取值范围是

A、[0，6] B、[0，4] C、[6， D、[4，

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5. 已知圆锥的底面半径是 $1$ ，且它的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $Δ A B C$ 的边 $B C$ 上有一点 $D$ 满足 $\overset{⇀}{B D} = 3 \overset{⇀}{D C}$ ，则 $\overset{⇀}{A D}$ 可表示为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 太极是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，俗称阴阳鱼.太极图形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理.太极图形展现了一种互相转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 $O$ 被 $y = sin \frac{π}{3} x$ 的图象分割为两个对称的鱼形图案，图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼”，已知小圆的半径均为 $1$ ，现在大圆内随机投放一点，则此点投放到“鱼眼”部分的概率为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为 $y = \sqrt{2} x$ ，点 $P (2 \sqrt{2} ， - \sqrt{2})$ 在 $C$ 上，则 $C$ 的方程为（）

A、 B、 C、 D、

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9. 由 $y = 2 sin (4 x - \frac{1}{4} π)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍后，所得图象对应的函数解析式为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = 2 B C = 4$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点，则三棱锥 $E - D_{1} C_{1} C$ 外接球的表面积为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知 $x = 1$ 是 $f (x) = [x^{2} - (a + 3) x + 2 a + 3] e^{x}$ 的极小值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右顶点分别为 $A ， B$ ， $P$ 是椭圆上异于 $A ， B$ 的一点，若直线 $P A$ 的斜率 $k_{P A}$ 与直线 $P B$ 的斜率 $k_{P B}$ 乘积 $k_{P A} \cdot k_{P B} = - \frac{1}{4}$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

13. 某频率分布表（样本容量为

50

）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在

[20 ， 60)

内的频率为

0.6

，则估计样本在

[40 ， 50) ， [50 ， 60)

的数据个数之和是．

分组	$[10 ， 20)$	$[20 ， 30)$	$[30 ， 40)$
频数	$3$	$4$	$5$

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14. 已知 $tan (α + \frac{π}{3}) = 2 \sqrt{3}$ ，则 $tan α =$ ．

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15. 已知 $2^{3 {log}_{4} x} = 27$ ，则 $x$ 的值为．

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16. 在平面凸四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 45^{º} ， ∠ B = 120^{º} ， A B = \sqrt{2} ， A D = 3 ， C D = t$ （ $t$ 为常数），若满足上述条件的平面凸四边形 $A B C D$ 有且只有 $2$ 个，则 $t$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 在数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{n} > 0 ， a_{1} = 1 ， a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} - a_{n + 1} - a_{n} = 0$ .

(1)、求证：数列 ${a_{n}}$ 是等差数列；

(2)、设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 和为 $S_{n}$ ， $b_{n} = \frac{1}{S_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是菱形， $S B = S D$ .

(1)、证明： $B D ⊥ S A$ ；

(2)、若面 $S B D ⊥$ 面 $A B C D$ ， $S B ⊥ S D$ ， $∠ B A D = 60^{°}$ ， $A B = 1$ ，求 $B$ 到平面 $S A D$ 的距离.

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $M (\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ ，左焦点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ ，直线 $l ： y = 2 x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $O$ 是坐标原点.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求 $Δ O A B$ 面积的最大值.

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20. 下图是某市 $2001$ 年至 $2017$ 年环境基础设施投资额 $y$ (单位：亿元)的条形图．

(1)、若从 $2011$ 年到 $2015$ 年的五年中，任意选取两年，则这两年的投资额的平均数不少于 $140$ 亿元的概率；

(2)、为了预测该市 $2019$ 年的环境基础设施投资额，建立了 $y$ 与时间变量 $t$ 的两个线性回归模型．根据 $2001$ 年至 $2017$ 年的数据(时间变量 $t$ 的值依次为 $1 ， 2 ， \dots ， 17$ )建立模型①： $\hat{y} = - 30.4 + 13.5 t$ ；根据 $2011$ 年至 $2017$ 年的数据(时间变量 $t$ 的值依次为 $1 ， 2 ， \dots ， 7$ )建立模型②： $\hat{y} = 99 + 17.5 t$ ．
(i)分别利用这两个模型，求该地区 $2019$ 年的环境基础设施投资额的预测值；

(ii)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + 2 c o s θ ， \\ y = \sqrt{3} + 2 s i n θ \end{matrix}$ （ $θ$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l_{1}$ 的极坐标方程为 $θ = α (0 < α < \frac{π}{2})$ ，将直线 $l_{1}$ 绕极点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{π}{3}$ 个单位得到直线 $l_{2}$ ．

(1)、求 $C$ 和 $l_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、设直线 $l_{1}$ 和曲线 $C$ 交于 $O ， A$ 两点，直线 $l_{2}$ 和曲线 $C$ 交于 $O ， B$ 两点，求 $| O A | + | O B |$ 的最大值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | + | 2 x - 2 | (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) > 2$ 的解集；

(2)、若 $f (x) \geq 2$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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