广东省清远市2018-2019学年高三上学期文数期末教学质量检测试卷

试卷更新日期：2019-03-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $z = 1 + i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $| \bar{z} | =$ （）

A、0 B、2 C、1 D、

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 > 0}$ ， $B = {x | x < 3}$ ，则 $A \cap^{} B =$

A、 B、 C、 D、

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3. 等比数列 ${a_{n}}$ 中，满足 $a_{1} = 2$ ，且 $a_{1} ， a_{2} + 1 ， a_{3}$ 成等差数列，则数列 ${a_{n}}$ 的公比为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 从1名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）

A、0.3 B、0.4 C、0.5 D、0.6

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5. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 平行于直线 $x + y + 1 = 0$ ，且与圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 相切的直线的方程是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减，且 $a = 3^{3.1}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{π}$ ， $c = ln \frac{1}{3}$ ，则 $f (a) ， f (b) ， f (c)$ 的大小关系为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 设 $a$ 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成 $a$ 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I( $a$ )，按从大到小排成的三位数记为D( $a$ )(例如 $a$ ＝815，则I( $a$ )＝158，D( $a$ )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输入 $a$ =316，输出的结果 $b$ 是（）

A、386 B、495 C、521 D、547

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9. 已知命题 $P$ ： $\forall x \in R, x^{2} + m x + 4 \geq 0$ 恒成立，命题 $Q : 直线 l : x + y - m = 0$ 与圆： $x^{2} + y^{2} = 4$ 有公共点，则 $P$ 是 $Q$ 的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别是线段 $A B_{1} ， B C_{1}$ 的中点，以下结论：① $A A_{1}$ 丄 $M N$ ；② $M N$ 与 $A C$ 异面；③ $M N$ 丄面 $B D D_{1} B_{1}$ ；其中正确的是（）

A、① B、①② C、①③ D、②③

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11. 已知函数 $f (x) = 2 {sin}^{2} x - 1$ ，以下四个有关函数 $f (x)$ 的结论：（1）单调递增区间为 $[k π ， \frac{π}{2} + k π]$ ， $k \in z$ ；（2）最大值为2；（3）满足 $f (- x) = f (x)$ ；（4）满足 $f (x) = - f (- x)$ ；其中正确的个数（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一条渐近线的交点为 $M$ ， $F$ 为抛物线的焦点，若 $| M F |$ =3，则该双曲线的离心率为（）

A、 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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二、填空题

13. $\overset{⇀}{m} = (λ + 1 ， 1)$ ， $\overset{⇀}{n} = (λ ， λ - 3)$ ，若 $\overset{⇀}{m} ⊥ \overset{⇀}{n}$ ，则 $λ =$ ．

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14. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ , $a_{n + 1} + 2 a_{n} = 0 (n \in N^{*})$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ = ．

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15. 某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取 $n$ 个学生的成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），已知成绩在[90，100]的学生人数为8，则 $n$ =；估计该校高三学生此项体育测试平均成绩为．

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16. 对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a, b, c, d \in R, a \neq 0)$ ，有如下定义：设 $f' (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数， $f'' (x)$ 是函数 $f' (x)$ 的导函数，若方程 $f'' (x)$ =0有实数解 $m$ ，则称点 $(m, f (m))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”。若点 $(1, - 3)$ 是函数 $g (x) = x^{3} - a x^{2} + b x - 5 ， (a, b \in R)$ 的“拐点”也是函数 $g (x)$ 图像上的点，则当 $x = 4$ 时，函数 $h (x) = log {}_{4}{(a x + b)}$ 的函数值为．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，且 $2 \sqrt{3} {sin}^{2} \frac{A}{2} + sin A - \sqrt{3} = 0$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、已知 $Δ A B C$ 外接圆半径 $R = \sqrt{3}$ , 且 $A C = \sqrt{3}$ ,求 $Δ A B C$ 的周长.

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18. 一只红铃虫的产卵数 $y$ 和温度 $x$ 有关，现收集了4组观测数据列于下表中，根据数据作出散点图如下：

温度 $x /^{\circ} C$

20

25

30

35

产卵数 $y /$ 个

5

20

100

325

参考数据： $\bar{x} = 27.5$ ， $\bar{y} = 112.5$ ， $\bar{z} = 3.75$ ，

$4 \bar{x} \bar{y} = 12375$ ， $4 \bar{x} \bar{y} = 412.5$ ， $4 {\bar{x}}^{2} = 3025$

$\sum_{i = 1}^{4} x_{i} y_{i} = 14975$ ， $\sum_{i = 1}^{4} x_{i} z_{i} = 447.8$ ，

$\sum_{i = 1}^{4} x_{i}^{2} = 3150$ ， $ln 50 = 3.91$

$y$

5

20

100

325

$z = ln y$

1.61

3

4.61

5.78

(1)、根据散点图判断 $y = b x + a$ 与 $y = e^{b x + a}$ 哪一个更适宜作为产卵数 $y$ 关于温度 $x$ 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

(2)、根据（1）的判断结果及表中数据，建立 $z = ln y$ 关于 $x$ 的回归方程（数字保留2位小数）；

(3)、要使得产卵数不超过50，则温度控制在多少 $° C$ 以下？（最后结果保留到整数）

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19. 如图，四棱锥 $C - A B E D$ 中， $A D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $B E ⊥$ 平面 $A B C$ ，且 $A B = B C = C A = A D = 2 B E = 2$ ，点 $F$ 为线段 $C D$ 的中点.

(1)、求证： $E F$ //平面 $A B C$ ；

(2)、求平面 $A E F$ 截四棱锥 $C - A B E D$ 所得多面体 $A B C F E$ 的体积.

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20. 已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 为椭圆的左右焦点，过点 $F_{2}$ 直线 $l$ 与椭圆 $E$ 分别交于 $M ， N$ 两点， $Δ M F_{1} N$ 的周长为8，且椭圆离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、求当 $Δ M F_{1} N$ 面积为3时直线MN的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = ln x - a x^{2}$

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) \leq - x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{2}{cos α} \\ y = t a n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数， $α \neq \frac{π}{2} + k π ， k \in Z$ ）直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ cos (θ + \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ .
（I）求曲线 $C$ 的普通方程与直线 $l$ 的直角坐标方程；

（II）已知 $A (4 ， 0)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点为 $M 、 N$ ，求 $| M A | \cdot | N A |$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + a |$ ．

(1)、若不等式 $f (x) - 3 \leq 0$ 的解集为 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、在(1)的条件下，若 $f (x) + f (x + 2) \geq k$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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温度 $x /^{\circ} C$	20	25	30	35
产卵数 $y /$ 个	5	20	100	325

$y$	5	20	100	325
$z = ln y$	1.61	3	4.61	5.78