广东省清远市2018-2019学年高三上学期理数期末教学质量检测试卷

试卷更新日期：2019-03-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x \in R | 0 \leq x \leq 2}$ ， $N = {x \in Z | (x - 3) (x + 1) < 0}$ ，则 $M \cap^{} N =$ （　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 设复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = 3 + i$ (其中 $i$ 为虚数单位)，则 $z =$ （）

A、 B、 C、 D、

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3. 等比数列 ${a_{n}}$ 中，满足 $a_{1} = 2$ ，且 $a_{1} ， a_{2} + 1 ， a_{3}$ 成等差数列，则数列 ${a_{n}}$ 的公比为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图为某几何体的三视图，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为 $\frac{1}{3}$ ，视力合格的概率为 $\frac{1}{4}$ ，假设各项标准互不影响，从中任选一名学生，则该生恰有一项合格的概率为（）

A、 B、 C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{5}{12}$

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6. 如图，矩形 $A B C D$ 中曲线的方程分别是 $y = sin x ， y = cos x$ ，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把 $60$ 磅面包分给 $5$ 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的 $\frac{1}{2}$ 是较小的三份之和，则最小的 $1$ 份为（）

A、磅 B、磅 C、 $\frac{4}{9}$ 磅 D、 $\frac{4}{3}$ 磅

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8. 下列命题中正确的是（）

A、在中，是为等腰三角形的充要条件 B、“ ”是“ ”成立的充分条件 C、命题“ ”的否定是“ ” D、命题“若，则或 ”的逆否命题是“若或，则 ”

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9. 将函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后得到函数 $g (x)$ 的图象如图所示，则函数 $f (x)$ 的解析式是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，给出下列三个结论：① $a^{2} < b^{2}$ ；② $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2$ ；③ $lg a^{2} > lg a b$ .中所有的正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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11. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别在是线段 $A B_{1} ， B C_{1}$ 的中点，以下结论：①直线 $B D$ 丄直线 $M N$ ；②直线 $M N$ 与直线 $A C$ 异面；③直线 $M N$ 丄平面 $B D D_{1} B_{1}$ ；④ $M N = \frac{\sqrt{2}}{2} A A_{1}$ ，其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 半圆的直径 $A B = 4$ ， $O$ 为圆心， $C$ 是半圆上不同于 $A 、 B$ 的任意一点，若 $P$ 为半径 $O C$ 上的动点，则 $(\overset{⇀}{P A} + \overset{⇀}{P B}) \cdot \overset{⇀}{P C}$ 的最小值是（）

A、2 B、0 C、-2 D、4

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二、填空题

13. $(3 - \frac{1}{x^{2}}) {(1 + x)}^{5}$ 的常数项是．

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14. 设向量 $\overset{⇀}{a} = (- 1 ， 2)$ ，若单位向量 $\vec{b}$ 满足 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - 3 \overset{⇀}{b})$ ，则 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} =$ ．

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15. 某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取 $n$ 个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示），已知成绩在 $[90 ， 100]$ 的学生人数为 $8$ ，且有 $4$ 个女生的成绩在 $[50 ， 60)$ 中，则 $n =$ ；现由成绩在 $[50 ， 60)$ 的样本中随机抽取2名学生作指导工作，记所抽取学生中女生的人数为 $ξ$ ，则 $ξ$ 的数学期望是．

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16. 对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ $(a ， b ， c ， d \in R ， a \neq 0)$ 有如下定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数， $f^{″} (x)$ 是函数 $f^{'} (x)$ 的导函数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $m$ ，则称点 $(m ， f (m))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”.若点 $(1 ， - 3)$ 是函数 $g (x) = x^{3} - a x^{2} + b x - 5 (a ， b \in R)$ 的“拐点”，也是函数 $g (x)$ 图像上的点，则函数 $h (x) = \frac{1}{3} a sin x + \frac{1}{2} b {cos}^{2} x$ 的最大值是．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，且 $2 \sqrt{3} {sin}^{2} \frac{A}{2} + sin A - \sqrt{3} = 0$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、已知 $Δ A B C$ 外接圆半径 $R = \sqrt{3}$ , 且 $A C = \sqrt{3}$ ,求 $Δ A B C$ 的周长.

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18. 一只红铃虫的产卵数

y

和温度

x

有关，现收集了

4

组观测数据列于下表中，根据数据作出散点图如下：

温度 $x$ /℃	$20$	$25$	$30$	$35$
产卵数 $y$ /个	$5$	$20$	$100$	$325$

（I）根据散点图判断 $y = b x + a$ 与 $y = e^{b x + a}$ 哪一个更适宜作为产卵数 $y$ 关于温度 $x$ 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程（数字保留 $2$ 位小数）；

（III）要使得产卵数不超过 $50$ ，则温度控制在多少℃以下？（最后结果保留到整数）

参考数据： $\bar{x} = 27.5 ， \bar{y} = 112.5 ， \bar{z} = 3.75$ ， $4 \bar{x} \bar{y} = 12375 ， 4 \bar{x} \bar{z} = 412.5 ， 4 {\bar{x}}^{2} = 3025$ ， $\sum_{i = 1}^{4} x_{i} y_{i} = 14975 ， \sum_{i = 1}^{4} x_{i} z_{i} = 447.8$ ， $\sum_{i = 1}^{4} x_{i}^{2} = 3150 ， ln 50 = 3.91$

$y$	$5$	$20$	$100$	$325$
$z = ln y$	$1 .61$	$3$	$4 .61$	$5 .78$

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 是菱形， $A B ⊥ B_{1} C$ .

（I）证明： $A C = A B_{1}$ ；

（II）若 $A B = B C = \sqrt{2} A C = 2 ， ∠ C B B_{1} = \frac{π}{3}$ ，求直线 $A B_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成角的余弦值.

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20. 如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，短轴的两端点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，线段 $O F_{1}$ ， $O F_{2}$ 的中点分别为 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，且四边形 $A_{1} B_{1} A_{2} B_{2}$ 是面积为8的矩形．

（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）过 $B_{1}$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $P$ ， $Q$ 两点，若 $\overset{⇀}{B_{2} P} \cdot \overset{⇀}{B_{2} Q} = 8$ ，求直线 $l$ 的方程．

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21. 已知函数 $f (x) = ln x - a x^{2}$
（I）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（II）当 $a = - 1$ ，是否存在实数 $k$ ，使得 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R (x_{1} \neq x_{2})$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} \geq k$ ？若存在求出 $k$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \frac{2}{cos α} \\ y = t a n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数， $α \neq \frac{π}{2} + k π ， k \in Z$ ）直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ cos (θ + \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ .
（I）求曲线 $C$ 的普通方程与直线 $l$ 的直角坐标方程；

（II）已知 $A (4 ， 0)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点为 $M 、 N$ ，求 $| M A | \cdot | N A |$ .

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + a |$ .
（I）若不等式 $f (x) - 3 \leq 0$ 的解集为 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ ，求实数 $a$ 的值；

（II）在（I）的条件下，若 $f (x) + f (x + 2) \geq k$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围.

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