广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班理数学业水平考试试卷

试卷更新日期：2019-03-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $z = \frac{1}{1 - i} + 2 + i$ 的虚部是（）

A、 B、2 C、 D、

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2. 已知集合 $A = {x | \frac{x - 3}{x + 1} \leq 0}$ ， $B = {- 1 ， 1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知命题 $p ：$ 若 $a > | b |$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ ；命题 $q ：$ $m$ 、 $n$ 是直线， $α$ 为平面，若 $m$ // $α$ ， $n \subset α$ ，则 $m$ // $n$ .下列命题为真命题的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 $y$ （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确的是（）

A、从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加； B、2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多； C、2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番； D、为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.

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5. 函数 $f (x) = ln | x | + \frac{1}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y - 1 \leq 0 \\ 2 x - y + 1 \geq 0 \\ x \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = - \frac{x}{2} + y$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、-2 D、-1

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7. 若 $a = {log}_{2} 3$ ， $b = {log}_{4} 8$ ， $c = {log}_{5} 8$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 若点 $A (2 ， 2 \sqrt{2})$ 在抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 上，记抛物线 $C$ 的焦点为 $F$ ，直线 $A F$ 与抛物线的另一交点为B，则 $\overset{⇀}{F A} \cdot \overset{⇀}{F B} =$ （）

A、 B、 C、 D、

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9. 某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知在区间 $[0 ， π]$ 上，函数 $y = 3 sin \frac{x}{2}$ 与函数 $y = \sqrt{1 + sin x}$ 的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为 $P'$ ， $P'$ 的横坐标为 $x_{0}$ ，则 $tan x_{0}$ 的值为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，坐标原点O关于点 $F_{2}$ 的对称点为P，点P到双曲线的渐近线距离为 $2 \sqrt{3}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线C右支相交于M、N两点，若 $| M N | = 3$ ， $Δ F_{1} M N$ 的周长为10，则双曲线C的离心率为（）

A、 B、2 C、 D、3

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12. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} ⊥$ 底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，∠ACB=90°， $B C = C C_{1} = 1 ，$ $A C = 3 \sqrt{2} ，$ $P$ 为 $B C_{1}$ 上的动点，则 $C P + P A_{1}$ 的最小值为（）

A、 B、 C、5 D、

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二、填空题

13. ${(\sqrt{2 x} + \frac{1}{x^{2}})}^{8}$ 的展开式中 $\frac{1}{x}$ 的系数为；

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14. 若向量 $\vec{a} = (1, x)$ 、 $\vec{b} = (- 1, - 2)$ 不共线，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ；

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15. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 x$ ，若 $f (a - 1) + f (2 a^{2}) \leq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是；

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16. 已知 $f (x) = sin [\frac{π}{3} (x + 1)] - \sqrt{3} cos [\frac{π}{3} (x + 1)]$ ，则 $f (1) + f (2) + \dots + f (2019) =$ .

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 3$ ， $2 S_{n} + 3 = a_{n + 1}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若等差数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，且 $T_{1} = a_{1}$ ， $T_{3} = a_{3}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $Q_{n}$ ．

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18. 如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.

(1)、证明：PC⊥平面BOH；

(2)、若 $O H = O B = \sqrt{3}$ ，求二面角A-BH-O的余弦值．

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19. 某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀．

	第一周	第二周	第三周	第四周
甲组	20	25	10	5
乙组	8	16	20	16

(1)、在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；

(2)、每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.

（i）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为 $ξ_{1}$ 、 $ξ_{2}$ ，求 $ξ_{1}$ 、 $ξ_{2}$ 的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？

（ii）按（i）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率．

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20. 已知椭圆 $C$ : $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上顶点为A,以A为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为 $(0, 1 + \sqrt{3})$ 、 $(0, 1 - \sqrt{3})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设不经过点A的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于P、Q两点，且 $\overset{⇀}{A P} \cdot \overset{⇀}{A Q} = 0$ ,试探究直线 $l$ 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{k x - 1}{k e^{k x}}$ （ $k \in R$ ， $k \neq 0$ ）.

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 1$ 时， $f (\frac{x}{k}) \leq ln x$ ，求k的取值范围.

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22. 已知曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 t \\ y = t^{2} \end{matrix}$ （t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且 $l_{1}$ 的倾斜角为锐角 $α$ .

(1)、求曲线C和射线 $l_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、求△OAB的面积的最小值，并求此时 $α$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | - a | x + 2 |$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) < 2$ 的解集；

(2)、当 $x \in [- 2, 2]$ 时，不等式 $f (x) \geq x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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