广东省揭阳市2018-2019学年高三文数学业水平考试试卷

试卷更新日期：2019-03-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {- 1 ， 1}$ ，则 $∁_{A} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 复数 $z = \frac{2}{1 - i} + 2 + i$ 的虚部是（）

A、3 B、2 C、 D、

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3. “ $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} \geq 0$ ”是“ $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为锐角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知函数 $f (x) = 2^{x^{2} - a}$ ， $f (\sqrt{3}) = \frac{1}{4}$ ，则 $f (- \sqrt{2}) =$ （）

A、1 B、 C、 D、

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5. 记等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{1} = - 2 ， S_{3} = - 6$ ，且公比 $q \neq 1$ ，则 $a_{3}$ =（）

A、-2 B、2 C、-8 D、-2或-8

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6. 若点 $A (2 ， 2 \sqrt{2})$ 在抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 上，记抛物线 $C$ 的焦点为 $F$ ，则直线 $A F$ 的斜率为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知 $x \in [0 ， π]$ ，且 $3 sin \frac{x}{2} = \sqrt{1 + sin x}$ ，则 $tan \frac{x}{2}$ =（）

A、 B、 C、 D、2

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8. 如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 $y$ （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确的是（）

A、从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加； B、2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多； C、2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番； D、为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.

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9. 函数 $f (x) = ln | x | + \frac{1}{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y - 1 \leq 0 \\ 2 x - y + 1 \geq 0 \\ x \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = - \frac{x}{2} + y$ 的最小值为（）

A、-1 B、-2 C、1 D、2

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11. 某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 2 e^{x} - \frac{2}{e^{x}}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底，若 $f (a - 1) + f (2 a^{2}) \leq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， x)$ 、 $\vec{b} = (- 1 ， - 2)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} | =$ ；

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，则该双曲线的离心率为；

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15. 如图，圆柱O₁ O₂ 内接于球O，且圆柱的高等于球O的半径，则从球O内任取一点，此点取自圆柱O₁ O₂ 的概率为；

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - \frac{1}{9}$ ， $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{8 a_{n} + 1}$ $(n \in N^{*})$ ，则数列 ${a_{n}}$ 中最大项的值为.

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $2 a sin B cos A - b sin A = 0$ ，

(1)、求 $A$ ；

(2)、当 $sin B + \sqrt{3} sin (C - \frac{π}{6})$ 取得最大值时，试判断 $Δ A B C$ 的形状．

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18. 如图，在三棱锥P-ABC中，正三角形PAC所在平面与等腰三角形ABC所在平面互相垂直，AB＝BC，O是AC中点，OH⊥PC于H.

(1)、证明：PC⊥平面BOH；

(2)、若 $O H = O B = \sqrt{3}$ ，求三棱锥A-BOH的体积．

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19. 某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表：

	第一周	第二周	第三周	第四周
甲组	20	25	10	5
乙组	8	16	20	16

(1)、用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间（精确到0.1），并据此判断哪种培训方式效率更高？

(2)、在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率.

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20. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B（O为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{1}{2})$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN=60°，求点M的坐标．

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21. 已知函数 $f (x) = (x - 3) e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、求实数 $a$ 的值，使得 $x = 2$ 是函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{3} a x^{3} - a x^{2}$ 唯一的极值点．

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22. 已知曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 t \\ y = t^{2} \end{matrix}$ （t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 相互垂直，与曲线C分别相交于A、B两点（不同于点O），且 $l_{1}$ 的倾斜角为锐角 $α$ .

(1)、求曲线C和射线 $l_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、求△OAB的面积的最小值，并求此时 $α$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 2 | - a | x + 2 |$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，求不等式 $f (x) < 2$ 的解集；

(2)、当 $x \in [- 2, 2]$ 时，不等式 $f (x) \geq x$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

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