广东省惠州市2018-2019学年高一上学期数学期末质量检测试卷

试卷更新日期：2019-03-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 3}$ ，集合 $B = {3 ， 4 ， 5}$ ，则集合 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (4 ， 2)$ ，向量 $\vec{b} = (1 ， x)$ ．若 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $x$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、 C、 D、

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3. 要得到函数 $y = cos (2 x + 3)$ 的图象，只要将函数 $y = cos 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{3}{2}$ 个单位 B、向右平移3个单位 C、向左平移3个单位 D、向右平移 $\frac{3}{2}$ 个单位

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4. 函数 $f (x) = e^{x} - x - 2$ 的一个零点所在的区间为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{\frac{2}{3}} ， b = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{3}} ， c = ln 3$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知 $cos (\frac{π}{12} - θ) = \frac{1}{3}$ ，则 $sin (\frac{5 π}{12} + θ) =$ （）

A、 B、 C、 $\frac{1}{3}$ D、

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7. 函数 $y = x^{2} + ln | x |$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 3^{- x} + 1 (x \leq 0) \\ x^{a} + 2 (x > 0) \end{matrix}$ ，若 $f (f (- 1)) = 18$ ，那么实数 $a$ 的值是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 下图是函数 $y = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < π)$ 的图象的一部分，则该解析式为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 在 $Δ A B C$ 中，若 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} = \overset{⇀}{O B} \cdot \overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{O C} \cdot \overset{⇀}{O A}$ ，则 $O$ 是 $Δ A B C$ 的（）

A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

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11. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积= $\frac{1}{2} (弦 \times 矢 + 矢^{2})$ ，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差。现有圆心角为 $\frac{2 π}{3}$ ，半径等于4米的弧田.下列说法不正确的是（）

A、“弦” 米，“矢” 米 B、按照经验公式计算所得弧田面积（）平方米 C、按照弓形的面积计算实际面积为（）平方米 D、按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据 )

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12. 定义域为 $R$ 的偶函数 $f (x)$ ，满足对任意的 $x \in R$ 有 $f (x + 2) = f (x)$ ，且当 $x \in [2 ， 3]$ $f (x) = - 2 x^{2} + 12 x - 18$ ，若函数 $y = f (x) - {log}_{a} (| x | + 1)$ 在 $R$ 上至少有六个零点，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 若 $f (x) = a^{x} (a > 0)$ 的图象过点 $(2, 4)$ ，则 $a =$ .

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14. $cos 18^{\circ} \cdot cos 42^{\circ} - cos 72^{\circ} \cdot sin 42^{\circ} =$ .

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15. 已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - x + a - 1 \geq 0$ 在 $R$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知函数 $f (x) = (x^{2} + x) (x^{2} - 5 x + 6)$ ，则 $f (x)$ 的最小值为.

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三、解答题

17.

(1)、计算： ${({log}_{2} 3)}^{2} - {log}_{2} 3 \cdot \frac{lg 6}{lg 2} + {log}_{2} 6$ .

(2)、若 $tan α = - \frac{1}{3}$ ，求 $\frac{sin α + 2 cos α}{5 cos α - sin α}$ .

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18. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ，向量 $\vec{b} = (- 3, 2)$ .

(1)、求向量 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 的坐标；

(2)、当 $k$ 为何值时，向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与向量 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 共线.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 sin x \cdot cos x + 2 {cos}^{2} x - 1$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 的单调递增区间．

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20. 已知函数 $f (x) = x + \frac{m}{x}$ 图象过点 $P (1, 5)$ ．

(1)、求实数 $m$ 的值，并证明函数 $f (x)$ 是奇函数；

(2)、利用单调性定义证明 $f (x)$ 在区间 $[2 ， + \infty)$ 上是增函数．

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21. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin (ω x + φ) - cos (ω x + φ) (- \frac{π}{2} < φ 〈 0 ， ω 〉 0)$ 为偶函数，且函数 $y = f (x)$ 的图象相邻的两条对称轴间的距离为 $\frac{π}{2}$ ．

(1)、求 $f (\frac{π}{12})$ 的值；

(2)、将 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ 在 $[- \frac{π}{3} ， \frac{5 π}{6}]$ 上的最值．

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22. 设函数 $f (x) = \frac{a^{2 x} - 1}{a^{x}} (a > 0 且 a \neq 1)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数．

(1)、若 $f (1) > 0$ ，求使不等式 $f (k x - x^{2}) + f (x - 1) < 0$ 对一切 $x \in R$ 恒成立的实数 $k$ 的取值范围；

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象过点 $P (1, \frac{3}{2})$ ，是否存在正数 $m (m \neq 1)$ ，使函数 $g (x) = {log}_{m} [a^{2 x} + a^{- 2 x} - m f (x)]$ 在 $[1, {log}_{2} 3]$ 上的最大值为0？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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