广东省惠州市2018-2019学年高三理数第三次调研考试试卷

试卷更新日期：2019-03-25 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 2 < 0}$ ，集合 $B = {x | x 〉 0}$ ，则集合 $A \cup^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 若复数 $z$ 满足 $i \cdot z = - 1 - i$ ，则在复平面内， $z$ 所对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 若 $x$ 、 $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - 1 \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ x + y - 4 \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为（）

A、2 B、6 C、7 D、8

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4. 两个正数 $a$ 、 $b$ 的等差中项是 $\frac{7}{2}$ ，一个等比中项是 $2 \sqrt{3}$ ，且 $a < b$ ，则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率 $e$ 等于（）

A、 B、 C、 D、 $\frac{3}{4}$

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5. 已知函数 $y = f (x)$ 与 $y = e^{x}$ 互为反函数，函数 $y = g (x)$ 的图象与 $y = f (x)$ 的图象关于 $x$ 轴对称，若 $g (a) = 1$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 $3.14$ ，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的 $n$ 值为（）（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732 ， sin 15^{0} \approx 0.2588 ， sin 75^{0} \approx 0.9659$ ）

A、48 B、36 C、24 D、12

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7. 已知直线 $l$ 过点 $P (- 2 ， 0)$ ，当直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2 x$ 有两个交点时，其斜率 $k$ 的取值范围为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何的体积为（）立方单位。

A、 B、 C、 D、

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9. 已知 $F$ 是抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点， $M$ ， $N$ 是该抛物线上两点， $| M F | + | N F | = 6$ ，则 $M N$ 的中点到准线的距离为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、4

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10. 在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 是 $A C$ 上一点，且 $\overset{⇀}{A C} = 4 \overset{⇀}{A D}$ ， $P$ 为 $B D$ 上一点，向量 $\overset{⇀}{A P} = λ \overset{⇀}{A B} + μ \overset{⇀}{A C} (λ > 0, μ > 0)$ ，则 $\frac{4}{λ} + \frac{1}{μ}$ 的最小值为（）

A、16 B、8 C、4 D、2

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11. 函数 $f (x) = \frac{1}{2} cos ω x - \frac{\sqrt{3}}{2} sin ω x (ω > 0)$ 在 $[0 ， π]$ 内的值域为 $[- 1 ， \frac{1}{2}]$ ，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 B、 C、 D、

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12. 已知偶函数 $f (x)$ 满足 $f (4 + x) = f (4 - x)$ 且 $f (0) = 0$ ，当 $x \in (0 ， 4]$ 时， $f (x) = \frac{ln (2 x)}{x}$ ，关于 $x$ 的不等式 ${[f (x)]}^{2} + a \cdot f (x) > 0$ 在 $[- 200 ， 200]$ 上有且只有200个整数解，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 已知 $sin α = \frac{3}{5} ， α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $tan (α + \frac{π}{4}) =$ 。

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14. 如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = \sqrt{3}$ ， $B C = 1$ ， $Δ A C D$ 是等边三角形，则 $\overset{⇀}{A C} \cdot \overset{⇀}{B D}$ 的值为。

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15. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 的顶点都在半径为1的球面上，底面 $A B C D$ 是正方形，且底面 $A B C D$ 经过球心 $O$ ， $E$ 是 $A B$ 的中点， $P E ⊥$ 底面 $A B C D$ ，则该四棱锥 $P - A B C D$ 的体积等于立方单位。

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $n a_{n + 1} = (n + 1) a_{n} + n (n + 1)$ ，且 $b_{n} = a_{n} \cdot cos \frac{2 n π}{3}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_{24} =$ 。

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，其面积 $S$ 满足 $4 S =$ $a^{2} + c^{2} - b^{2}$ ．
（Ⅰ）求角 $B$ ；

（Ⅱ）设 $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于 $D$ ， $A D = 3$ ， $B D = \sqrt{6}$ ，求 $cos C$ ．

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18. 已知公差为正数的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} \cdot a_{3} = 40$ ， $S_{4} = 26$ ,数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n} = 2^{n + 1} - 2 (n \in N^{*})$ 。

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $M_{n}$ ．

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $B C$ ∥ $A D$ ， $∠ A D C = 90^{0}$ ， $B C = C D = 1$ ， $A D = 2$ ， $P A = P D = \sqrt{3}$ ， $E$ 为 $A D$ 的中点， $F$ 为 $P C$ 的中点。

(1)、求证： $P A$ ∥平面 $B E F$ ；

(2)、求二面角 $F - B E - A$ 的余弦值。

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20. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $P (1 ， \frac{3}{2})$ ，且左焦点与抛物线 $y^{2} = - 4 x$ 的焦点重合。

(1)、求椭圆的标准方程；

(2)、若直线 $l ： y = k x + m (k \neq 0)$ 与椭圆交于不同的两点 $M$ 、 $N$ ，线段 $M N$ 的中点记为 $A$ ，且线段 $M N$ 的垂直平分线过定点 $G (\frac{1}{8} ， 0)$ ，求 $k$ 的取值范围。

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21. 设函数 $f (x) = - \frac{a ln x}{x} + x - a + 2 (a \in R)$ ．

(1)、当曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $y = x$ 垂直时，求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $F (x) = f (x) + \frac{a^{2}}{4 x}$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围。

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22. [选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t \\ y = 6 + t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $3 ρ^{2} - 2 ρ^{2} {cos}^{2} θ = 3$ ．

(1)、写出曲线 $C_{1}$ 的普通方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P$ 是曲线 $C_{2}$ 上的动点，求点 $P$ 到曲线 $C_{1}$ 的最小距离．

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23. 已知 $f (x) = | x + 1 | - | 2 x - 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若 $x \in R$ 时，不等式 $f (x) \leq x + a$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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