广东省惠州市2018-2019学年高二上学期文数期末考试试卷

试卷更新日期：2019-03-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“若 $a > b$ ，则 $a + c > b + c$ ”的否命题是（）

A、若，则 B、若，则 C、若，则 D、若，则

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2. 设 $x > 1$ ，则“ $x > 1$ ”是“ $x^{2} + x - 2 > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 甲、乙两校各有2名教师报名支教，若从这4名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校的概率为（）

A、 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 某班有50名学生，男女人数不相等。随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如下图所示，则下列说法一定正确的是（）

A、这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差。 B、这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数。 C、该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数。 D、这种抽样方法是一种分层抽样。

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5. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足 ${\begin{matrix} x - y \geq - 3 \\ 2 x + y \leq 3 \\ y \geq 1 \end{matrix}$ ，则 $z = x + 2 y$ 的最大值为（）

A、 B、 C、 D、 $7$

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6. 函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4$ 的极大值为（）

A、 B、6 C、 D、7

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7. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ， $2 x + y = 1$ ，则 $x y$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 C、4 D、8

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8. 抛物线 $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ 上的点 $M (4 ， m)$ 到焦点的距离为 $5$ ，则 $m$ 的值为（）

A、 B、 C、 D、或

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9. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $a ， b ， k$ 分别为1，2，3，则输出的 $M$ =（）

A、 B、 C、 D、

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10. 从编号为 $0 ， 1 ， 2 ， 3 ， \dots \dots ， 79$ 的 $80$ 件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一组样本，若编号为 $42$ 的产品在样本中，则该组样本中产品的最小编号为（）

A、 B、 C、 D、

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11. 若函数 $f (x) = x^{2} e^{x} - a$ 恰有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、 $(0, + \infty)$

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12. 设 $F_{1} 、 F_{2}$ 分别是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，过点 $F_{1} (- c ， 0)$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A ， B$ 两点，若 $| A F_{1} | = 3 | F_{1} B |$ ，且 $A B ⊥ A F_{2}$ ，则椭圆 $E$ 的离心率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、

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二、填空题

13. 不等式 $- x^{2} + 6 x - 8 > 0$ 的解集为．

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\frac{3}{2}$ ，则该双曲线的渐近线方程是．

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15. 利用计算机产生0~1之间的均匀随机数 $a$ ，则使关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - x + a = 0$ 无实根的概率为．

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16. 若函数 $f (x) = ln x + a x^{2} - 2$ 在区间 $(\frac{1}{2} ， 2)$ 内单调递增，则实数 $a$ 的取值范围．

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三、解答题

17. 点 $(4 ， 4)$ 在抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上，且A，B为 $C$ 上两点，A与B的横坐标之和为4．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、求直线AB的斜率。

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18. 2019年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，按阅读时间分组：第一组[0，5)，第二组[5，10)，第三组[10，15)，第四组[15，20)，第五组[20，25]，绘制了频率分布直方图如下图所示。已知第三组的频数是第五组频数的3倍。

(1)、求 $a$ 的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；

(2)、现从第三、四、五这3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”。经过比赛后，从这6人中随机挑选2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率。

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19. 已知函数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} - 1$ 在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线方程为 $3 x + y + 2 = 0$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1 ， 2]$ 上的最大值与最小值．

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20. 某市2011年至2017年新开楼盘的平均销售价格(单位：千元/平方米)的统计数据如下表：

年份	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017
年份代号 $x$	1	2	3	4	5	6	7
销售价格 $y$	3	3.4	3.7	4.5	4.9	5.3	6

附：参考公式： $\overset{\land}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\overset{\land}{a} = \bar{y} - \overset{\land}{b} \bar{x}$ ，其中 $\bar{x} ， \bar{y}$ 为样本平均值。

参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 137.2 ，$ $\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2} = 140$ ．

(1)、求

y

关于x的线性回归方程；

(2)、利用（1）中的回归方程，分析2011年至2017年该市新开楼盘平均销售价格的变化情况，并预测该市2019年新开楼盘的平均销售价格。

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21. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的上下两个焦点分别为 $F_{2} ， F_{1}$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 2 \sqrt{2}$ ，椭圆过点 $(- 1 ， \sqrt{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设椭圆 $C$ 的一个顶点为 $B (b ， 0)$ ，直线 $B F_{2}$ 交椭圆 $C$ 于另一个点 $N$ ，求 $Δ F_{1} B N$ 的面积．

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22. 已知函数 $f (x) = - x + a ln x (a \in R)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、设 $g (x) = x^{2} - 2 x + 2 a$ ，若 $\forall x_{1} \in (0 ， + \infty)$ ，均 $\exists x_{2} \in [0 ， 1]$ ，使得 $f (x_{1}) < g (x_{2})$ ，求 $a$ 的取值范围．

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