广东省惠州市2018-2019学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2019-03-22 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“若 $a > b$ ，则 $a + c > b + c$ ”的否命题是（）

A、若，则 B、若，则 C、若，则 D、若，则

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2. 若 $f' (x)$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x + 1$ 的导函数，则 $f' (- 1)$ 的值为（）

A、1 B、3 C、1或3 D、4

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3. 设 $x > 1$ ，则“ $x > 1$ ”是“ $x^{2} + x - 2 > 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (- 2 ， 1 ， 3) ， \overset{⇀}{b} = (- 1 ， 2 ， 1)$ ，若 $\overset{⇀}{a} ⊥ (\overset{⇀}{a} - λ \overset{⇀}{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 B、 C、 D、2

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5. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $a ， b ， k$ 分别为1，2，3，则输出的 $M$ =（）

A、 B、 C、 D、

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6. 某班有50名学生，男女人数不相等。随机询问了该班5名男生和5名女生的某次数学测试成绩，用茎叶图记录如下图所示，则下列说法一定正确的是（）

A、这5名男生成绩的标准差大于这5名女生成绩的标准差。 B、这5名男生成绩的中位数大于这5名女生成绩的中位数。 C、该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数。 D、这种抽样方法是一种分层抽样。

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7. 已知 $x > 0 ， y > 0$ ，且 $2 x + y = 1$ ，则 $x y$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、4 C、 D、8

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8. 抛掷2枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ x - 2 y + 1 \leq 0 \\ 2 x - y + 2 \geq 0 \end{matrix}$ ，则 $z = 3 x + y$ 的最大值为（）

A、 B、4 C、2 D、5

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10. 点 $P$ 是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 上一点， $F_{1} ， F_{2}$ 是双曲线的左，右焦点， $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 6 ， P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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11. 若正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长都相等，D是 $A_{1} C_{1}$ 的中点，则直线AD与平面 $B_{1} D C$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、

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12. 已知 $\forall x \in R$ ， $\exists m \in R$ ，使 $4^{x} - 2^{x + 1} + m = 0$ 成立，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

13. 利用计算机产生0~1之间的均匀随机数 $a$ ，则使关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - x + a = 0$ 无实根的概率为．

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14. 从编号为 $0, 1, 2, 3, \dots \dots, 79$ 的 $80$ 件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的一组样本，若编号为 $42$ 的产品在样本中，则该组样本中产品的最小编号为．

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15. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作 $x$ 轴的垂线交抛物线于M，N两点，给出下列三个结论：
① $Δ P M N$ 必为直角三角形；

②直线 $P M$ 必与抛物线相切；

③ $Δ P M N$ 的面积为 $p^{2}$ ．其中正确的结论是．

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16. 已知点 $M (- 3 ， 0) ， N (3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ ，圆C与直线MN切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为．

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三、解答题

17. 点 $(4, 4)$ 在抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上，且A，B为 $C$ 上两点，A与B的横坐标之和为4．

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、求直线AB的斜率。

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18. 2019年4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解中学生课外阅读情况，随机抽取了100名学生，并获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，按阅读时间分组：第一组[0，5)，第二组[5，10)，第三组[10，15)，第四组[15，20)，第五组[20，25]，绘制了频率分布直方图如下图所示。已知第三组的频数是第五组频数的3倍。

(1)、求 $a$ 的值，并根据频率分布直方图估计该校学生一周课外阅读时间的平均值；

(2)、现从第三、四、五这3组中用分层抽样的方法抽取6人参加校“中华诗词比赛”。经过比赛后，从这6人中随机挑选2人组成该校代表队，求这2人来自不同组别的概率。

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19. 已知函数 $f (x) = ln x + a x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $P (1 ， f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 存在与直线 $2 x - y = 0$ 平行的切线，求 $a$ 的取值范围。

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20. 某市2011年至2017年新开楼盘的平均销售价格(单位：千元/平方米)的统计数据如下表：

年份	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017
年份代号 $x$	1	2	3	4	5	6	7
销售价格 $y$	3	3.4	3.7	4.5	4.9	5.3	6

附：参考公式： $\overset{\land}{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\overset{\land}{a} = \bar{y} - \overset{\land}{b} \bar{x}$ ，其中 $\bar{x}, \bar{y}$ 为样本平均值。

参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} x_{i} y_{i} = 137.2,$ $\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2} = 140$ ．

(1)、求

y

关于x的线性回归方程；

(2)、利用（1）中的回归方程，分析2011年至2017年该市新开楼盘平均销售价格的变化情况，并预测该市2019年新开楼盘的平均销售价格。

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21. 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB= $\sqrt{2}$ ， $C E = E F = 1$ ．

(1)、求证：CF⊥平面BDE；

(2)、求二面角A-BE-D的大小。

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22. 已知椭圆方程为 $x^{2} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ ，射线 $y = 2 \sqrt{2} x (x \geq 0)$ 与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A，B两点（异于M）．

(1)、求证：直线AB的斜率为定值；

(2)、求 $Δ A M B$ 面积的最大值。

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