辽宁省六校协作体2018-2019学年高三上学期文数初联考试卷

试卷更新日期：2019-03-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x < 5}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 8 < 0}$ ，则 $A \cap^{} B = ($ $)$

A、 B、 C、 D、

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2. 已知i是虚数单位，且 $(1 + 2 i) \bar{z} = 4 + 3 i$ ，则 $z = ($ $)$

A、 B、 C、 D、

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3. 已知角 $θ$ 的始边为x轴非负半轴，终边经过点 $P (1 ， 2)$ ，则 $\frac{sin (π - θ)}{sin θ + cos θ}$ 的值为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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4. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (x ， - 3)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $x = ($ $)$

A、 B、 C、 D、6

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5. $《$ 九章算术 $》$ 中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 $($ $)$

A、2 B、4 C、 D、

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6. 执行下图的程序框图后，若输入和输出的结果依次为4和51，则 $m = ($ $)$

A、18 B、5 C、15 D、8

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7. 已知 $a = (\frac{1}{7})^{\frac{2}{7}}$ ， $b = (\frac{2}{7})^{\frac{1}{7}}$ ， $c = (\frac{2}{7})^{\frac{2}{7}}$ ，则 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A ， ω ， φ$ 均为正的常数 $)$ 的最小正周期为 $π$ ，当 $x = \frac{7 π}{12}$ 时，函数 $f (x)$ 取得最小值，则下列结论正确的是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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9. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} \overset{- x + 6 ， x \leq 2}{3 + {log}_{a} x ， x > 2} \end{matrix} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的值域是 $[4 ， + \infty)$ ，则实数a的取值范围是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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10. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 1 \\ x + y \leq 3 \\ x - y \leq 3 \end{matrix}$ ，则 $z = \frac{1}{2} x + y$ 的最大值为 $($ $)$

A、2 B、0 C、 D、

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11. 对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，给出定义：设 $f' (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数， $f ″ (x)$ 是 $f' (x)$ 的导数，若方程 $f ″ (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点” $.$ 经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心 $.$ 设函数 $g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - \frac{5}{12}$ ，则 $g (\frac{1}{2019}) + g (\frac{2}{2019}) + \dots + g (\frac{2018}{2019}) = ($ $)$

A、2016 B、2017 C、2018 D、2019

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12. 设双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一个焦点为F，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若 $3 \vec{O F} = \vec{O B} + 2 \vec{O A}$ ，则双曲线C的离心率为 $($ $)$

A、 B、2 C、 D、

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二、填空题

13. 已知 $Δ A B C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，三个内角A,B,C成等差数列，则 $\overset{⇀}{B A} \cdot \overset{⇀}{B C} =$ ．

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14. 已知球面上有四个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，球心为点 $O$ ， $O$ 在 $C D$ 上，若三棱锥 $A - B C D$ 的体积的最大值为 $\frac{8}{3}$ ，则该球 $O$ 的表面积为．

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15. 已知 $⊙ O$ ： $x^{2} + y^{2} = 1.$ 若直线 $y = k x + 2$ 上总存在点P，使得过点P的 $⊙ O$ 的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = {\begin{matrix} \frac{1}{n (n + 2)} ， n 为奇数 \\ n - 7 ， n 为偶数 \end{matrix}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 前15项和为 $S_{15}$ 的值为．

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三、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $∠ B = 30^{\circ}$ ，D是BC边上的一点， $A D = 5$ ， $A C = 7$ ， $D C = 3$ ．

(1)、求 $△ A D C$ 的面积；

(2)、求边AB的长．

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18. 十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分别在 $[1500 ， 1750)$ ， $[1750 ， 2000)$ ， $[2000 ， 2250)$ ， $[2250 ， 2500)$ ， $[2500 ， 2750)$ ， $[2750 ， 3000) ($ 单位：克 $)$ 中，其频率分布直方图如图所示．

$($ Ⅰ $)$ 按分层抽样的方法从质量落在 $[1750 ， 2000)$ ， $[2000 ， 2250)$ 的蜜柚中抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；

$($ Ⅱ $)$ 以各组数据的中间数代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚等待出售，某电商提出两种收购方案：

A.所有蜜柚均以40元 $/$ 千克收购；

B.低于2250克的蜜柚以60元 $/$ 个收购，高于或等于2250克的以80元 $/$ 个收购．

请你通过计算为该村选择收益最好的方案．

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19. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上 $($ 异于点P， $C)$ ，平面ABE与棱PD交于点F

(1)、求证： $A B / / E F$ ；

(2)、若 $A F ⊥ E F$ ，求证：平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD．

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20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ．
$($ Ⅰ $)$ 求椭圆E的方程；

$($ Ⅱ $)$ 若C，D分别是椭圆E的左、右顶点，动点M满足 $M D ⊥ C D$ ，连接CM，交椭圆E于点 $P .$ 证明： $\vec{O M} \cdot \vec{O P}$ 为定值 $(O$ 为坐标原点 $)$ ．

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21. 已知曲线 $f (x) = ln x + \frac{m}{x}$ 的一条切线过点 $(0, 1)$ .
（Ⅰ）求 $m$ 的取值范围；

（Ⅱ）若 $m = 1$ ， $g (x) = x - ln x - a f (x) + 2$ .

①讨论函数 $g (x)$ 的单调性；

②当 $a = - 2$ 时，求证： $g (x) \leq e^{x} + x + \frac{2}{x}$ .

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = cos θ \\ y = 3 sin θ \end{matrix} (θ \in [0, 2 π))$ ，曲线 $C_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - 2 - \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix} (t$ 为参数 $)$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的普通方程；

(2)、求曲线 $C_{1}$ 上一点P到曲线 $C_{2}$ 距离的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a |$ ，不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集为 $[- 6, 0]$ ．

(1)、求实数a的值；

(2)、若 $f (x) + f (x + 5) \geq 2 m$ 对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

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