辽宁省葫芦岛市普通高中2018-2019学年高三文数调研考试试卷

试卷更新日期：2019-03-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | |x| > 1}$ ， $B = {x | 0 < x < 2}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知复数 $z = i (2 + i)$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z$ 的虚部为（ )

A、1 B、 C、2 D、

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3. 近日，据媒体报道称，“杂交水稻之父”袁隆平及其团队培育的超级杂交稻品种“湘两优900（超优千号）”再创亩产世界纪录，经第三方专家测产，该品种的水稻在实验田内亩产1203.36公斤.中国工程院院士袁隆平在1973年率领科研团队开启了的杂交水稻王国的大门，在数年的时间内就解决了十多亿人的吃饭问题，有力回答了世界“谁来养活中国”的疑问.2012年，在袁隆平的实验田内种植了 $A$ ， $B$ 两个品种的水稻，为了筛选出更优的品种，在 $A$ ， $B$ 两个品种的实验田中分别抽取7块实验田，如图所示的茎叶图记录了这14块实验田的亩产量（单位： $10 k g$ ），通过茎叶图比较两个品种的均值及方差，并从中挑选一个品种进行以后的推广，有如下结论：①. $A$ 品种水稻的平均产量高于 $B$ 品种水稻，推广 $A$ 品种水稻；②. $B$ 品种水稻的平均产量高于 $A$ 品种水稻，推广 $B$ 品种水稻；③. $A$ 品种水稻的比 $B$ 品种水稻产量更稳定，推广 $A$ 品种水稻；④. $B$ 品种水稻的比 $A$ 品种水稻产量更稳定，推广 $B$ 品种水稻；
其中正确结论的编号为（）

A、①② B、①③ C、②④ D、①④

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4. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{2} = 2$ ，前7项和 $S_{7} = 56$ ，则公差 $d =$ （）

A、2 B、3 C、-2 D、-3

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5. 已知 $cos x = \frac{3}{4}$ ，则 $cos 2 x =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 C、 D、 $\frac{1}{8}$

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6. 函数 $y = \frac{x^{2} \ln x^{2}}{| x |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} \begin{matrix} \end{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} x + y - 7 \leq 0 ， \\ x - 3 y + 1 \leq 0 ， \\ 3 x - y - 5 \geq 0 ， \end{matrix}$ 则 $z = 2 x - y$ 的最大值为（）

A、10 B、8 C、3 D、2

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8. $Δ A B C$ 的周长为 $10 + 2 \sqrt{7}$ ，且满足 $sin A ： sin B ： sin C = 2 ： 3 ： \sqrt{7}$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为（）

A、 B、 C、 D、12

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9. 正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 若向量 $\overset{⇀}{O A} = (1 ， - 1)$ ， $| \overset{⇀}{O A} | = | \overset{⇀}{O B} |$ ， $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} = - 1$ ，则向量 $\overset{⇀}{O A}$ 与 $\overset{⇀}{O B} - \overset{⇀}{O A}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 D、 $\frac{5 π}{6}$

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11. 若双曲线 $C ：$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线被圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 所截得的弦长为2，则 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 D、

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12. 已知 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，满足 $f (1 - x) = f (1 + x)$ .若 $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2018) + f (2019) =$ （）

A、-2018 B、0 C、2 D、50

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二、填空题

13. 四面体 $A B C D$ 的外接球为 $O$ ， $A D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A D = 2$ ， $Δ A B C$ 为边长为3的正三角形，则球 $O$ 的表面积为．

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14. 已知 $f (x) = 2 sin 2 ω x$ 的周期为 $π$ ，则当 $x \in [\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 时 $f (x)$ 的最小值为．

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15. 庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”（游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”）.今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：
甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”’；

丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.

游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是．

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三、解答题

16. 设函数 $f (x) = {\begin{matrix} x ， 0 \leq x < 1 \\ \frac{1}{f (x + 1)} - 1 ， - 1 < x < 0 \end{matrix}$ ， $g (x) = f (x) - 4 m x - m$ ，其中 $m \neq 0$ .若函数 $g (x)$ 在区间 $(- 1 ， 1)$ 上有且仅有一个零点，则实数 $m$ 的取值范围是．

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，满足 $a_{2} = \frac{1}{2}$ ， $a_{5} = \frac{1}{16}$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = (3 n - 2) a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B = A D = 2$ ， $C B = C D = \sqrt{7}$ ， $∠ B A D = 120^{\circ}$ ，点 $E$ 在线段 $A C$ 上，且 $A E = 2 E C$ ， $F$ 为线段 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $E F ∥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、若 $P C = 5$ ，求三棱锥 $F - P A D$ 的体积.

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19. 党的十八大将生态文明建设纳入中国特色社会主义事业“五位一体”总体布局，“美丽中国”成为中华民族追求的新目标.十九大报告中多次出现的“绿色”“低碳”“节约”等词语，正在走入百姓生活，城市出行的新变革正在悄然发生，绿色出行的理念已深入人心，建设美丽中国，绿色出行至关重要，骑自行车或步行渐渐成为市民的一种出行习惯.某市环保机构随机抽查统计了该市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：

次数年龄	$[0 ， 10)$	$[10 ， 20)$	$[20 ， 30)$	$[30 ， 40)$	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$
18岁至31岁	8	12	20	60	140	150
32岁至44岁	12	28	20	140	60	150
45岁至59岁	25	50	80	100	225	450
60岁及以上	25	10	10	19	4	2

联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老人.

(1)、若从被抽查的该月骑车次数在

[40 ， 60]

的老年人中随机选出两名幸运者给予奖励，求其中一名幸运者该月骑车次数在

[40 ， 50)

之间，另一名幸运者该月骑车次数在

[50 ， 60)

之间的概率；

(2)、用样本估计总体的思想，解决如下问题：

①估计该市在32岁至44岁年龄段的一个青年人每月骑车的平均次数；

②若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，统计并完成下表，说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？

	青年人	非青年人	合计
骑行爱好者
非骑行爱好者
合计

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

参数数据：

$K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （其中 $n = a + b + c + d$ ）

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的四个顶点围成的四边形的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，其离心率为 $\frac{1}{2}$

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 作直线 $l$ （ $x$ 轴除外）与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $A$ ， $B$ ，在 $x$ 轴上是否存在定点 $P$ ，使 $\overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B}$ 为定值？若存在，求出定点坐标及定值，若不存在，说明理由.

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21. 已知函数 $f (x) = (\frac{1}{2} a x^{2} + a x + 1) e^{- x} (a \in R)$

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、如果对任意 $x \geq 0$ ， $f (x) \leq x + 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆 $C$ 是以极坐标系中的点 $(2, \frac{7 π}{6})$ 为圆心， $\sqrt{3}$ 为半径的圆，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = - \frac{1}{2} t \\ y = - 2 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{matrix}$

(1)、求 $C$ 与 $l$ 的直角坐标系方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 交于 $M$ 、 $N$ 两点，求 $Δ M O N$ 的面积.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | - 2 | x - 1 | (a \in R)$

(1)、当 $a = 3$ 时，求函数 $f (x)$ 的最大值；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) \geq 0$ .

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