2018-2019学年初中数学人教版八年级下册第十六章二次根式复习专练

试卷更新日期：2019-03-20 类型：单元试卷

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一、选择题

1. 下列运算：① $\sqrt{27}$ ﹣3 $\sqrt{3}$ ＝0：②2 $\sqrt{2}$ ×3 $\sqrt{2}$ ＝6 $\sqrt{2}$ ：③ $\sqrt{24}$ ÷ $\sqrt{6}$ ＝2；④（ $\sqrt{3}$ +2）²＝7，其中错误的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 若实数x满足|x﹣3|+ $\sqrt{x^{2} + 8 x + 16}$ ＝7，化简2|x+4|﹣ $\sqrt{{(2 x - 6)}^{2}}$ 的结果是（）

A、4x+2 B、﹣4x﹣2 C、﹣2 D、2

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3. 若代数式 $\frac{\sqrt{3 x - 2}}{| x | - 3}$ 有意义，则x的取值范围是（）

A、x＞ $\frac{2}{3}$ 且x≠3 B、x≥ $\frac{2}{3}$ C、x≥ $\frac{2}{3}$ 且x≠3 D、x≤ $\frac{2}{3}$ 且x≠﹣3

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4. 若实数m满足|m﹣4|＝|m﹣3|+1，那么下列四个式子中与（m﹣4） $\sqrt{\frac{1}{(m - 3) (m - 4)}}$ 相等的是（）

A、 B、- C、 D、-

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5. 如果一个三角形的三边长分别为 $\frac{1}{2}$ 、k、 $\frac{7}{2}$ ，则化简 $\sqrt{k^{2} - 12 k + 36}$ ﹣|2k﹣5|的结果是（）

A、﹣k﹣1 B、k+1 C、3k﹣11 D、11﹣3k

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6. 已知a+b＝﹣7，ab＝4，则 $\sqrt{\frac{a}{b}}$ + $\sqrt{\frac{b}{a}}$ ＝（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、﹣ $\frac{7}{2}$ C、 $\frac{7}{4}$ D、﹣ $\frac{7}{4}$

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7. 把 $m \sqrt{- \frac{1}{m}}$ 根号外的因式移入根号内得（）

A、 B、 C、 D、

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8. 设等式 $\sqrt{a (x - a)} + \sqrt{a (y - a)} = \sqrt{x - a} - \sqrt{a - y}$ 在实数范围内成立，其中a、x、y是两两不同的实数，则 $\frac{3 x^{2} + x y - y^{2}}{x^{2} - x y + y^{2}}$ 的值是（）

A、3 B、 C、2 D、 $\frac{5}{3}$

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9. 已知a为实数，则代数式 $\sqrt{27 - 12 a + 2 a^{2}}$ 的最小值为（）

A、0 B、3 C、3 $\sqrt{3}$ D、9

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10. 甲，乙两同学对代数式 $\frac{m - n}{\sqrt{m +} \sqrt{n}}$ （m＞0，n＞0）分别作了如下变形：
甲： $\frac{m - n}{\sqrt{m} + \sqrt{n}}$ ＝ $\frac{(m - n) (\sqrt{m} - \sqrt{n})}{(\sqrt{m} + \sqrt{n}) (\sqrt{m} - \sqrt{n})}$ ＝ $\sqrt{m} - \sqrt{n}$ ；

乙： $\frac{m - n}{\sqrt{m} + \sqrt{n}}$ ＝ $\frac{(\sqrt{m} + \sqrt{n}) (\sqrt{m} - \sqrt{n})}{\sqrt{m} + \sqrt{n}}$ ＝ $\sqrt{m} - \sqrt{n}$ ．

关于这两种变形过程的说法正确的是（）

A、甲，乙都正确 B、甲，乙都不正确 C、只有甲正确 D、只有乙正确

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11. $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}}$ + $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$ +…+ $\frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$ 的整数部分是（）

A、3 B、5 C、9 D、6

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12. 设
$s = \sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} + \dots + \sqrt{1 + \frac{1}{2007^{2}} + \frac{1}{2008^{2}}} + \sqrt{1 + \frac{1}{2008^{2}} + \frac{1}{2009^{2}}}$
则与s最接近的整数是（）

A、2009 B、2006 C、2007 D、2008

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13. 若0＜a＜1，则化简 $\sqrt{{(a - \frac{1}{a})}^{2} + 4} + \sqrt{{(a + \frac{1}{a})}^{2} - 4}$ 的结果是（）

A、﹣2a B、2a C、﹣ D、

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14. 若x²+y²＝1，则 $\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}$ + $\sqrt{4 y^{2} + 4 y + 1}$ + $\sqrt{x y - 2 x + y - 2}$ 的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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15. $\frac{1}{2 \sqrt{1} + 1 \sqrt{2}} + \frac{1}{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{100 \sqrt{99} + 99 \sqrt{100}}$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{9}{10}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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二、填空题

16. 计算：6 $\sqrt{2}$ × $\frac{1}{3}$ $\sqrt{6}$ ＝， $\sqrt{2}$ ÷（2﹣ $\sqrt{2}$ ）＝．

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17. 若m＝ $\frac{2015}{\sqrt{2016} - 1}$ ，则m³﹣m²﹣2017m+2015＝．

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18. 若a＝1+ $\sqrt{2}$ ，b＝1﹣ $\sqrt{2}$ ，则代数式 $\sqrt{a^{2} + b^{2} - 3 a b}$ 的值为。

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19. 阅读下列材料，我们知道（ $\sqrt{13}$ +3）（ $\sqrt{13}$ ﹣3）＝4，因此将 $\frac{8}{\sqrt{13} - 3}$ 的分子分母同时乘以“ $\sqrt{13}$ +3”，分母就变成了4，即 $\frac{8}{\sqrt{13} - 3}$ ＝ $\sqrt{\frac{x}{5}}$ ＝ $\frac{8 (\sqrt{13} + 3)}{4}$ ，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若m＝ $\frac{2017}{\sqrt{2018} + 1}$ ，则代数式m⁵+2m⁴﹣2017m³+2160的值是．

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20. 已知a≥0时， $\sqrt{a^{2}}$ ＝a．请你根据这个结论直接填空：

(1)、 $\sqrt{9}$ ＝；

(2)、若x+1＝2018²+2019² ，则 $\sqrt{2 x + 1}$ ＝．

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21. 若a＞ $\sqrt{2}$ a+1，化简|a+ $\sqrt{2}$ |﹣ $\sqrt{{(a + \sqrt{2} + 1)}^{2}}$ ＝．

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22. 若 $\sqrt{24 - t^{2}} - \sqrt{8 - t^{2}}$ ＝2.5，则 $\sqrt{24 - t^{2}} + \sqrt{8 - t^{2}}$ 的值为．

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23. 已知3 $\sqrt{x} + 4 \sqrt{y}$ ＝16，m＝4 $\sqrt{x} - 3 \sqrt{y}$ ，则m的取值范围是．

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24. 已知：m+n＝10，mn＝9，则 $\frac{\sqrt{m} - \sqrt{n}}{\sqrt{m} + \sqrt{n}}$ ＝．

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25. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝ $\sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}]}$ ．现已知△ABC的三边长分别为1，2， $\sqrt{5}$ ，则△ABC的面积为．

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三、解答题

26. 计算：

(1)、 $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ ﹣ $\sqrt{27}$ + $\frac{1}{\sqrt{3}}$

(2)、（ $\sqrt{5}$ ﹣ $\sqrt{2}$ ）（ $\sqrt{5}$ + $\sqrt{2}$ ）+（ $\sqrt{3}$ ﹣1）²

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27. 已知a＝ $\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $\frac{a^{2} - 9}{a - 3} - \frac{\sqrt{a^{2} - 4 a + 4}}{a^{2} - 2 a}$ 的值．

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28. 设a，b，c为△ABC的三边，化简：
$\sqrt{{(a + b + c)}^{2}}$ + $\sqrt{{(a - b - c)}^{2}}$ + $\sqrt{{(b - a - c)}^{2}}$ ﹣ $\sqrt{{(c - b - a)}^{2}}$ ．

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29. 求值：

(1)、已知a＝3+2 $\sqrt{2}$ ，b＝3﹣2 $\sqrt{2}$ ，求a²+ab+b²的值；

(2)、已知：y＞ $\sqrt{3 x - 2}$ + $\sqrt{2 - 3 x}$ +2，求 $\frac{\sqrt{y^{2} - 4 y + 4}}{2 - y}$ +5﹣3x的值．

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30. 化简求值：已知：x＝ $\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ ，y＝ $\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ，求（x+3）（y+3）的值．

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31. 已知x＝ $\frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}$ ，y＝ $\frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}}$ ，求：
①x²y﹣xy²的值；

②x²﹣xy+y²的值．

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32. 先化简，再求值：a+ $\sqrt{1 - 2 a + a^{2}}$ ，其中a＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．

(1)、的解法是错误的；

(2)、错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；

(3)、先化简，再求值：a+2 $\sqrt{a^{2} - 6 a + 9}$ ，其中a＝﹣2007．

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33. 在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：
3+2 $\sqrt{2}$ ＝2+2 $\sqrt{2}$ +1＝（ $\sqrt{2}$ ）²+2 $\sqrt{2}$ +1＝（ $\sqrt{2}$ +1）²；

5+2 $\sqrt{6}$ ＝2+2 $\sqrt{2 \times 3}$ +3＝（ $\sqrt{2}$ ）²+2× $\sqrt{2}$ × $\sqrt{3}$ +（ $\sqrt{3}$ ）²＝（ $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ ）²

(1)、请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①4+2 $\sqrt{3}$ ；②6+4 $\sqrt{2}$

(2)、若a+4 $\sqrt{3}$ ＝（m+n $\sqrt{3}$ ）² ，且a，m，n都是正整数，试求a的值．

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34. 观察下列各式：
$\sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}}$ ＝1+ $\frac{1}{1}$ ﹣ $\frac{1}{2}$ ＝1 $\frac{1}{2}$ ； $\sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}}$ ＝1+ $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{3}$ ＝1 $\frac{1}{6}$ ；

$\sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}}$ ＝1+ $\frac{1}{3}$ ﹣ $\frac{1}{4}$ ＝1 $\frac{1}{12}$ ，…

请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题

(1)、猜想： $\sqrt{1 + \frac{1}{7^{2}} + \frac{1}{8^{2}}}$ ＝＝；

(2)、归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：；

(3)、应用：计算 $\sqrt{\frac{82}{81} + \frac{1}{100}}$ ．

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35. 若要化简 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 我们可以如下做：
∵3+2 $\sqrt{2} = 2 + 1 + 2 \sqrt{2} = {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \times \sqrt{2} \times 1 + 1^{2} = {(\sqrt{2} + 1)}^{2}$

∴ $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ ＝ $\sqrt{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}} = \sqrt{2}$ +1

仿照上例化简下列各式：

(1)、 $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}$ ＝。

(2)、 $\sqrt{13 - 2 \sqrt{42}}$ ＝。

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36. 像（ $\sqrt{5}$ +2）（ $\sqrt{5}$ ﹣2）＝1、 $\sqrt{a}$ • $\sqrt{a}$ ＝a（a≥0）、（ $\sqrt{b}$ +1）（ $\sqrt{b}$ ﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， $\sqrt{5}$ 与 $\sqrt{5}$ ， $\sqrt{2}$ +1与 $\sqrt{2}$ ﹣1，2 $\sqrt{3}$ +3 $\sqrt{5}$ 与2 $\sqrt{3}$ ﹣3 $\sqrt{5}$ 等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：

(1)、化简： $\frac{2}{3 \sqrt{3}}$ ；

(2)、计算： $\frac{1}{2 - \sqrt{3}}$ + $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ ；

(3)、比较 $\sqrt{2018}$ ﹣ $\sqrt{2017}$ 与 $\sqrt{2017}$ ﹣ $\sqrt{2016}$ 的大小，并说明理由．

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37. 阅读材料：把根式 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 进行化简，若能找到两个数m、n，是m²+n²＝x且mn＝ $\sqrt{y}$ ，则把x±2 $\sqrt{y}$ 变成m²+n²±2mn＝（m±n）²开方，从而使得 $\sqrt{x \pm 2 \sqrt{y}}$ 化简．
例如：化简 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

解：∵3+2 $\sqrt{2}$ ＝1+2+2 $\sqrt{2}$ ＝1²+（ $\sqrt{2}$ ）²+2×1× $\sqrt{2}$ ＝（1+ $\sqrt{2}$ ）²

∴ $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ ＝ $\sqrt{{(+ \sqrt{2})}^{2}}$ ＝1+ $\sqrt{2}$ ；

请你仿照上面的方法，化简下列各式：

(1)、 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}$ ；

(2)、 $\sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$ ．

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38. 一个三角形的三边长分别为5 $\sqrt{\frac{x}{5}}$ ， $\frac{1}{2} \sqrt{20 x}$ ， $\frac{5}{4} x \sqrt{\frac{4}{5 x}}$ ．

(1)、求它的周长（要求结果化简）；

(2)、请你给出一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．

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39. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2 $\sqrt{2}$ ＝（1+ $\sqrt{2}$ ）² ．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b $\sqrt{2}$ ＝（m+n $\sqrt{2}$ ）²（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b $\sqrt{2}$ ＝m²+2n²+2mn $\sqrt{2}$ ．

∴a＝m²+2n² ， b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)、当a、b、m、n均为正整数时，若a+b $\sqrt{5}$ ＝（m+n $\sqrt{5}$ ）² ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝， b＝；

(2)、利用探索的结论，找一组正整数a、b、m、n （a、b都不超过20）
填空：+ $\sqrt{7}$ ＝（+ $\sqrt{7}$ ）²；

(3)、若a+6 $\sqrt{3}$ ＝（m+n $\sqrt{3}$ ）² ，且a、m、n均为正整数，求a的值？

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2018-2019学年初中数学人教版八年级下册 第十六章二次根式 复习专练

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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