2017年四川省宜宾市高考数学二诊试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-27 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B=（）

A、{8，10} B、{8，12} C、{8，14} D、{8，10，14}

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2. 已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z的共轭复数为（）

A、﹣2﹣i B、﹣2+i C、2﹣i D、2+i

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3. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且S₅=15，a₂=5，则公差d等于（）

A、﹣3 B、﹣2 C、﹣1 D、2

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4. 若非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，满足| $\vec{a}$ |=| $\vec{b}$ |，（ $\vec{a}$ ﹣2 $\vec{b}$ ）• $\vec{a}$ =0，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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5. 某厂家为了解广告宣传费与销售轿车台数之间的关系，得到如下统计数据表：
广告费用x（万元）
2
3
4
5
6
销售轿车y（台数）
3
4
6
10
12
根据数据表可得回归直线方程 $\hat{y}$ = $\hat{b}$ x+ $\hat{a}$ ，其中 $\hat{b}$ =2.4， $\hat{a}$ = $\bar{y}$ ﹣ $\hat{b}$ $\bar{x}$ ，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（）

A、17 B、18 C、19 D、20

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6. 将函数 $y = 2 \sin (\frac{2}{3} x + \frac{3 π}{4})$ 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{3}$ ，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则下列说法正确的是（）

A、函数g（x）的一条对称轴是 $x = \frac{π}{4}$ B、函数g（x）的一个对称中心是 $(\frac{π}{2} ， 0)$ C、函数g（x）的一条对称轴是 $x = \frac{π}{2}$ D、函数g（x）的一个对称中心是 $(\frac{π}{8} ， 0)$

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7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、10 B、15 C、18 D、20

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8. 执行如图的程序框图，若输入的n为6，则输出的p为（）

A、8 B、13 C、29 D、35

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9. 三棱锥A﹣BCD内接于半径为2的球O，BC过球心O，当三棱锥A﹣BCD体积取得最大值时，三棱锥A﹣BCD的表面积为（）

A、 $6 + 4 \sqrt{3}$ B、 $8 + 2 \sqrt{3}$ C、 $4 + 6 \sqrt{3}$ D、 $8 + 4 \sqrt{3}$

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10. 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2^x﹣1，则（）

A、 $f (6) < f (- 7) < f (\frac{11}{2})$ B、 $f (6) < f (\frac{11}{2}) < f (- 7)$ C、 $f (- 7) < f (\frac{11}{2}) < f (6)$ D、 $f (\frac{11}{2}) < f (- 7) < f (6)$

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11. 已知点F₁ ， F₂分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右两焦点，过点F₁的直线l与双曲线的左右两支分别交于P，Q两点，若△PQF₂是以∠PQF₂为顶角的等腰三角形，其中 $∠ P Q F_{2} \in [\frac{π}{3} ， π)$ ，则双曲线离心率e
的取值范围为（）

A、 $[\sqrt{7} ， 3)$ B、 $[1 ， \sqrt{7})$ C、 $[\sqrt{5} ， 3)$ D、 $[\sqrt{5} ， \sqrt{7})$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2 x - x \ln x (x > 0) \\ - x^{2} - \frac{3}{2} x (x \leq 0) \end{matrix}$ 有且仅有四个不同的点关于直线y=1的对称点在直线kx+y﹣1=0上，则实数k的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ B、 $(\frac{1}{2} ， \frac{3}{4})$ C、 $(\frac{1}{3} ， 1)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 2)$

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二、二.填空题：

13. ${(x - \frac{1}{2 x^{2}})}^{9}$ 的展开式中常数项是．（用数字作答）

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14. 从1，2，3，4，5，6，7这七个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是．

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15. 设直线l：3x+4y+4=0，圆C：（x﹣2）²+y²=r²（r＞0），若圆C上存在两点P，Q，直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则r的取值范围是．

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16. 在△ABC中， $\vec{A C} \cdot \vec{C B} = 2 \sqrt{2}$ ，其面积为 $\sqrt{2}$ ，则tan²A•sin2B的最大值是．

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三、三.解答题：

17. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a，b，c成等比数列，且a²﹣c²=ac﹣bc．
（Ⅰ）求∠A的大小；
（Ⅱ）若a= $\sqrt{3}$ ，且sinA+sin（B﹣C）=2sin2C，求△ABC的面积．

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18. 在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售．如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格卖给饲料加工厂．根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示．食堂某天购进了90个面包，以x（单位：个，60≤x≤110）表示面包的需求量，T（单位：元）表示利润．
（Ⅰ）求T关于x的函数解析式；
（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于100元的概率；
（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中间值的概率（例如：若需求量x∈[60，70），则取x=65，且x=65的概率等于需求量落入[60，70）的频率），求T的分布列和数学期望．

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19. 如甲图所示，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起到△D₁AE位置，使平面D₁AE⊥平面ABCE，得到乙图所示的四棱锥D₁﹣ABCE．
（Ⅰ）求证：BE⊥平面D₁AE；
（Ⅱ）求二面角A﹣D₁E﹣C的余弦值．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，过椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 右焦点的直线 $x + y - \sqrt{2} = 0$ 交椭圆C于M，N两点，P为M，N的中点，且直线OP的斜率为 $\frac{1}{3}$ ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设另一直线l与椭圆C交于A，B两点，原点O到直线l的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求△AOB面积的最大值．

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21. 设函数f（x）=x²+aln（x+1），a∈R．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ，求证：f（x₂）≥（ $\frac{2}{\sqrt{e}}$ ﹣1）x₂ ．

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22. 在直角坐标系xOy中，已知点P（0， $\sqrt{3}$ ），曲线C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = \sqrt{2} \cos ϕ \\ y = 2 \sin ϕ \end{matrix}$ （φ为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ= $\frac{\sqrt{3}}{2 \cos (θ - \frac{π}{6})}$ ．
（Ⅰ）判断点P与直线l的位置关系并说明理由；
（Ⅱ）设直线l与曲线C的两个交点分别为A，B，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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23. 已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣3，3]．
（Ⅰ）解不等式：f（x）+f（x+2）＞0；
（Ⅱ）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c=m，求证： $\frac{b^{2}}{a} + \frac{c^{2}}{b} + \frac{a^{2}}{c}$ ≥3．

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广告费用x（万元）	2	3	4	5	6
销售轿车y（台数）	3	4	6	10	12