2017年陕西省榆林市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-27 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 设全集为R，集合A={x|x²﹣16＜0}，B={x|﹣2＜x≤6}，则A∩（∁_RB）等于（）

A、（﹣4，0） B、（﹣4，﹣2] C、（﹣4，4） D、（﹣4，﹣2）

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2. 设复数z=﹣2+i（i是虚数单位），z的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则|（1+z）• $\bar{z}$ |等于（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 $\sqrt{5}$ C、5 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =8，| $\vec{a}$ |=3，| $\vec{b}$ |=4，则|2 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ |等于（）

A、5 B、 $\sqrt{5}$ C、2 $\sqrt{5}$ D、6

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4. 设函数f（x）= ${\begin{matrix} e^{x} ， 0 \leq x < 1 \\ \ln x + e ， 1 \leq x \leq e \end{matrix}$ 在区间[0，e]上随机取一个实数x，则f（x）的值不小于常数e的概率是（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、1﹣ $\frac{1}{e}$ C、 $\frac{e}{1 + e}$ D、 $\frac{1}{1 + e}$

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5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了？”根据此规律，求后3天一共走多少里（）

A、156里 B、84里 C、66里 D、42里

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6. 设a=6^0.4 ， b=log_0.40.5，c=log₈0.4，则a，b，c的大小关系是（）

A、a＜b＜c B、c＜b＜a C、c＜a＜b D、b＜c＜a

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7. 执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）

A、﹣ $\frac{31}{15}$ B、﹣ $\frac{7}{5}$ C、﹣ $\frac{31}{17}$ D、﹣ $\frac{21}{17}$

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8. 设ω＞0，函数y=2cos（ωx+ $\frac{π}{5}$ ）﹣1的图象向右平移 $\frac{5 π}{4}$ 个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）

A、 $\frac{8}{5}$ B、 $\frac{6}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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9. 如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

A、3 $\sqrt{3}$ B、4 $\sqrt{3}$ C、6 $\sqrt{3}$ D、9 $\sqrt{3}$

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10. 点P在双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的右支上，其左、右焦点分别为F₁、F₂ ，直线PF₁与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，线段PF₁的垂直平分线恰好过点F₂ ，则该双曲线的渐近线的斜率为（）

A、± $\frac{4}{3}$ B、± $\frac{3}{4}$ C、± $\frac{3}{5}$ D、± $\frac{5}{3}$

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11. 体积为 $\frac{32 π}{3}$ 的球有一个内接正三棱锥P﹣ABC，PQ是球的直径，∠APQ=60°，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）

A、 $\frac{27 \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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12. 设正数x，y满足log $_{\frac{1}{3}}$ x+log₃y=m（m∈[﹣1，1]），若不等式3ax²﹣18xy+（2a+3）y²≥（x﹣y）²有解，则实数a的取值范围是（）

A、（1， $\frac{55}{29}$ ] B、（1， $\frac{31}{21}$ ] C、[ $\frac{31}{21}$ ，+∞） D、[ $\frac{55}{29}$ ，+∞）

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二、填空题

13. 已知（1+x）（1﹣2x）⁶=a₀+a₁（x﹣1）+a₂（x﹣1）²+…+a₇（x﹣1）⁷ ，则a₃= ．

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14. 设各项均为正数的等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且满足a₁a₂=35，a₁a₃=45，则S₁₀= ．

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15. 已知点A（1，y₁），B（9，y₂）是抛物线y²=2px（p＞0）上的两点，y₂＞y₁＞0，点F是它的焦点，若|BF|=5|AF|，则y₁²+y₂的值为．

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16. 若实数x，y满足 ${\begin{matrix} 2 x - y + 2 \geq 0 \\ 2 x + y - 6 \leq 0 \\ 0 \leq y \leq 3 \end{matrix}$ ，且z=mx﹣y（m＜2）的最小值为﹣ $\frac{5}{2}$ ，则m= ．

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三、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\frac{c}{b - a} = \frac{\sin A + \sin B}{\sin A + \sin C}$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若b= $2 \sqrt{2}$ ，a+c=3，求△ABC的面积．

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18. 据统计，截至2016年底全国微信注册用户数量已经突破9.27亿，为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现从某市大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：
微信群数量（个）
频数
频率
0～4
0.15
5～8
40
0.4
9～12
25
13～16
a
c
16以上
5
b
合计
100
1
（Ⅰ）求a，b，c的值及样本中微信群个数超过12的概率；
（Ⅱ）若从这100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过12的概率；
（Ⅲ）以（1）中的频率作为概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过12的人数，求X的分布列和数学期望E（X）．

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19. 如图，已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的底面是边长为4的正三角形，B，E，F分别是AA₁ ， CC₁的中点，且BE⊥B₁F．
（Ⅰ）求证：B₁F⊥EC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁﹣BE﹣C的余弦值．

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20. 设椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂ ，上顶点为A，过A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于Q点，且F₁恰好是线段QF₂的中点．

(1)、若过A、Q、F₂三点的圆恰好与直线3x﹣4y﹣7=0相切，求椭圆C的方程；

(2)、在（1）的条件下，B是椭圆C的左顶点，过点R（ $\frac{3}{2}$ ，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆C于E、F两点，直线BE、BF分别交直线x= $\frac{8}{3}$ 于M、N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k₁ ， k₂ ，试问：k₁k₂是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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21. 已知函数f（x）=e^x+be^﹣^x﹣2asinx（a，b∈R）．

(1)、当a=0时，讨论函数f（x）的单调区间；

(2)、当b=﹣1时，若f（x）＞0对任意x∈（0，π）恒成立，求a的取值范围．

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22. 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位，已知直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = t \sin ϕ \\ y = 2 + t \cos ϕ \end{matrix}$ （t为参数，0＜φ＜π），曲线C的极坐标方程为ρcos²θ=8sinθ．

(1)、求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、设直线l与曲线C相交于A、B两点，当φ变化时，求|AB|的最小值．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣2|．

(1)、求不等式f（x）+x²﹣4＞0的解集；

(2)、设g（x）=﹣|x+7|+3m，若关于x的不等式f（x）＜g（x）的解集非空，求实数m的取值范围．

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微信群数量（个）	频数	频率
0～4		0.15
5～8	40	0.4
9～12	25
13～16	a	c
16以上	5	b
合计	100	1