2017年辽宁省葫芦岛市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-27 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则∁_U（A∩B）=（）

A、{﹣2，0} B、{﹣2，0，2} C、{﹣1，1，2} D、{﹣1，0，2}

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2. 已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 一已知等差数列{a_n}中，其前n项和为S_n ，若a₃+a₄+a₅=42，则S₇=（）

A、98 B、49 C、14 D、147

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4. 下列命题正确的是（　　）

A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

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5. 《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）

A、200π B、50π C、100π D、 $\frac{125 \sqrt{2}}{3}$ π

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6. 函数 $y = \frac{x^{2} \ln x^{2}}{| x |}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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7.
中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”如图1，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数学九章》中对此类问题的解法做了系统的论述，并称之为“大衍求一术”，如图2程序框图的算法思路源于“大衍求一术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为20，17，则输出的c=（）

A、1 B、6 C、7 D、11

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8. 广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：
广告费x
2
3
4
5
6
销售额y
29
41
50
59
71
由表可得到回归方程为 $\hat{y}$ =10.2x+ $\hat{a}$ ，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）

A、101.2 B、108.8 C、111.2 D、118.2

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9. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0＜φ＜ $\frac{π}{2}$ ），若f（ $\frac{2 π}{3}$ ）=﹣f（0），则ω的最小值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、1 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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10. 设f（x）=. ${\begin{cases} - x + 1 ， 0 \leq x \leq 1 \\ \ln x ， 1 < x \leq e \end{cases}$ ，直线x=0，x=e，y=0，y=1所围成的区域为M，曲线y=f（x）与直线y=1围成的区域为N，在区域M内任取一个点P，则点P在区域N内概率为（）

A、 $\frac{3 e - 3}{2 e}$ B、 $\frac{3}{2 e}$ C、 $\frac{e^{e} - e^{2} + e - 1}{e}$ D、 $\frac{e - 1}{e + 1}$

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11. 已知F是双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d² ，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、3 D、4

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12. 给出如下四个命题：①e $^{\frac{2}{e}}$ ＞2②ln2＞ $\frac{2}{3}$ ③π²＜3^π④ $\frac{\ln 2}{2}$ ＜ $\frac{\ln π}{π}$ ，正确的命题的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题：

13. 已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为120°，且| $\vec{a}$ |=2，| $\vec{b}$ |=4，若（m $\vec{a} + \vec{b}$ ）⊥ $\vec{a}$ ，则m= ．

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14. （x﹣ $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ）ⁿ的展开式中，所有二项式系数之和为512，则展开式中x³的系数为（用数字作答）．

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15. 已知数列{a_n}满足：2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n=n（n∈N^*），数列{ $\frac{1}{\log_{2} a_{n} \cdot \log_{2} a_{n + 1}}$ }的前n项和为S_n ，则S₁•S₂•S₃…S₁₀= ．

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16. 设实数x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x + y \geq 0 \\ x - y \leq 0 \\ x + 3 y \leq 3 \end{matrix}$ ，则 $\frac{x - y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ 的取值范围是．

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三、解答题：

17. 已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，函数 $f (x) = 3 + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x$ 且f（A）=5．

(1)、求角A的大小；

(2)、若a=2，求△ABC面积的最大值．

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18. 如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别与BC，AD交于点P，Q，若 $\vec{D Q}$ =t $\vec{D A}$ ．

(1)、当t= $\frac{1}{2}$ 时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；

(2)、是否存在实数t，使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ？若存在，求出实数t的值；若不存在，说明理由．

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19. 北京时间3月10日，CBA半决赛开打，采用7局4胜制（若某对取胜四场，则终止本次比赛，并获得进入决赛资格），采用2﹣3﹣2的赛程，辽宁男篮将与新疆男篮争夺一个决赛名额，由于新疆队常规赛占优，决赛时拥有主场优势（新疆先两个主场，然后三个客场，再两个主场），以下是总决赛赛程：

日期	比赛队	主场	客场	比赛时间	比赛地点
17年3月10日	新疆﹣辽宁	新疆	辽宁	20：00	乌鲁木齐
17年3月12日	新疆﹣辽宁	新疆	辽宁	20：00	乌鲁木齐
17年3月15日	辽宁﹣新疆	辽宁	新疆	20：00	本溪
17年3月17日	辽宁﹣新疆	辽宁	新疆	20：00	本溪
17年3月19日	辽宁﹣新疆	辽宁	新疆	20：00	本溪
17年3月22日	新疆﹣辽宁	新疆	辽宁	20：00	乌鲁木齐
17年3月24日	新疆﹣辽宁	新疆	辽宁	20：00	乌鲁木齐

(1)、若考虑主场优势，每个队主场获胜的概率均为

\frac{2}{3}

，客场取胜的概率均为

\frac{1}{3}

，求辽宁队以比分4：1获胜的概率；

(2)、根据以往资料统计，每场比赛组织者可获得门票收入50万元（与主客场无关），若不考虑主客场因素，每个队每场比赛获胜的概率均为

\frac{1}{2}

，设本次半决赛中（只考虑这两支队）组织者所获得的门票收入为X，求X的分布列及数学期望．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ， A（2，0）是椭圆的右顶点，过F₂且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|=3；

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若直线l与椭圆交于两点M，N（M，N不同于点A），若 $\vec{A M}$ • $\vec{A N}$ =0， $\vec{M T}$ = $\vec{T N}$ ；
①求证：直线l过定点；并求出定点坐标；
②求直线AT的斜率的取值范围．

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21. 已知函数f（x）=ax²+（x﹣1）e^x ．

(1)、当a=﹣ $\frac{e + 1}{2}$ 时，求f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；

(2)、讨论f（x）的单调性；

(3)、当﹣ $\frac{1}{2}$ ＜a＜﹣ $\frac{1}{2 e}$ 时，f（x）是否存在极值？若存在，求所有极值的和的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₁的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 2 \sqrt{2} \cos θ \\ y = 2 \sin θ \end{matrix}$ （θ为参数），曲线 C₂的极坐标方程为ρcosθ﹣ $\sqrt{2}$ ρsinθ﹣4=0．

(1)、求曲线C₁的普通方程和曲线 C₂的直角坐标方程；

(2)、设P为曲线C₁上一点，Q为曲线 C₂上一点，求|PQ|的最小值．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m

(1)、作函数f（x）的图象

(2)、若a²+b²+2c²=m，求ab+2bc的最大值．

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广告费x	2	3	4	5	6
销售额y	29	41	50	59	71