2017年江西省九校联考高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-27 类型：高考模拟

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一、选择题

1. 已知集合A={x|x²﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）

A、（1，3） B、（1，3] C、[﹣1，2） D、（﹣1，2）

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2. 已知复数z满足 $\frac{1 + i}{1 - i}$ •z=3+4i，则|z|=（）

A、2 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{7}$ C、5 $\sqrt{2}$ D、5

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3. 已知R上的奇函数f（x）满足：当x＞0时，f（x）=x²+x﹣1，则f[f（﹣1）]=（）

A、﹣1 B、1 C、2 D、﹣2

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4. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm³ ．

A、4+ $\frac{2}{3} π$ B、4+ $\frac{3}{2}$ π C、6+ $\frac{2}{3} π$ D、6+ $\frac{3}{2}$ π

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5. 下列命题正确的个数为（）

①“∀x∈R都有x²≥0”的否定是“∃x₀∈R使得x₀²≤0”；
②“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件；
③命题“若m≤ $\frac{1}{2}$ ，则方程mx²+2x+2=0有实数根”的否命题为真命题．

A、0 B、1 C、2 D、3

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6. 美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a，n，ξ的值分别为8，2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（）

A、2.81 B、2.82 C、2.83 D、2.84

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7. 随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表．
非一线
一线
总计
愿生
45
20
65
不愿生
13
22
35
总计
58
42
100
附表：
P（K²≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
由K²= $\frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ 算得，K²= $\frac{100 \times {(45 \times 22 - 20 \times 13)}^{2}}{58 \times 42 \times 35 \times 65}$ ≈9.616参照附表，得到的正确结论是（）

A、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B、在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” C、有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关” D、有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”

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8. 若x，y满足条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \geq 0 \\ x - 2 y + 6 \geq 0 \\ x \leq 2 \end{matrix}$ ，则目标函数z=x²+y²的最小值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、 $\frac{68}{9}$

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9. 已知A（1，2），B（2，11），若直线y=（m﹣ $\frac{6}{m}$ ）x+1（m≠0）与线段AB相交，则实数m的取值范围是（）

A、[﹣2，0）∪[3，+∞） B、（﹣∞，﹣1]∪（0，6] C、[﹣2，﹣1]∪[3，6] D、[﹣2，0）∪（0，6]

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10. 已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f（x₀）=3，x₀∈（ $\frac{π}{3}$ ， $\frac{5 π}{6}$ ），则sinx₀的值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3} + 4}{10}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3} - 4}{10}$ C、 $\frac{3 + 4 \sqrt{3}}{10}$ D、 $\frac{3 - 4 \sqrt{3}}{10}$

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11. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左焦点为F₁ ，左顶点为A，过F₁作x轴的垂线交双曲线于P、Q两点，过P作PM垂直QA于M，过Q作QN垂直PA于N，设PM与QN的交点为B，若B到直线PQ的距离大于a+ $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ，则该双曲线的离心率取值范围是（）

A、（1﹣ $\sqrt{2}$ ） B、（ $\sqrt{2}$ ，+∞） C、（1，2 $\sqrt{2}$ ） D、（2 $\sqrt{2}$ ，+∞）

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12. 若函数f（x）=[x³+3x²+（a+6）x+6﹣a]e^﹣^x在区间（2，4）上存在极大值点，则实数a的取值范围是（）

A、（﹣∞，﹣32） B、（﹣∞，﹣27） C、（﹣32，﹣27） D、（﹣32，﹣27]

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二、填空题

13. （1﹣ $\frac{1}{x}$ ）（1+x）⁴的展开式中含x²项的系数为．

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14. $\int_{0}^{1}$ （2x+ $\sqrt{1 - x^{2}}$ ）dx= ．

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15. 已知半径为1的球O内切于正四面体A﹣BCD，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是．

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16. △ABC中，sin（A﹣B）=sinC﹣sinB，D是边BC的一个三等分点（靠近点B），记 $\frac{\sin ∠ A B D}{\sin ∠ B A D} = λ$ ，则当λ取最大值时，tan∠ACD= ．

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三、解答题

17. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，数列{b_n}是等比数列，满足a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=10，a₅﹣2b₂=a₃ ．

(1)、求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)、令c_n=a_n•b_n ，设数列{c_n}的前n项和为T_n ，求T_n ．

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18. 在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，底面ABFE为直角梯形，∠ABF为直角， $A E ∥ B F ， A B = \frac{1}{2} B F = 1$ ，
平面ABCD⊥平面ABFE．

(1)、求证：DB⊥EC；

(2)、若AE=AB，求二面角C﹣EF﹣B的余弦值．

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19. 一个正四面体的“骰子”（四个面分别标有1，2，3，4四个数字），掷一次“骰子”三个侧面的数字的和为“点数”，连续抛掷“骰子”两次．

(1)、设A为事件“两次掷‘骰子’的点数和为16”，求事件A发生的概率；

(2)、设X为两次掷“骰子”的点数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，M为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且△MF₁F₂的周长为4+2 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点D（0，﹣2）作直线l与椭圆C交于A、B两点，点N满足 $\vec{O N} = \vec{O A} + \vec{O B}$ （O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时直线l的方程．

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21. 已知函数f（x）=e^x+ax，（a∈R），其图象与x轴交于A（x₁ ， 0），B（x₂ ， 0）两点，且x₁＜x₂

(1)、求a的取值范围；

(2)、证明： $f^{'} (\frac{3 x_{1} + x_{2}}{4}) < 0$ ；（f′（x）为f（x）的导函数）

(3)、设点C在函数f（x）的图象上，且△ABC为等边三角形，记 $\sqrt{\frac{x_{2}}{x_{1}}} = t$ ，求（t﹣1）（a+ $\sqrt{3}$ ）的值．

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22. 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为 $(3 ， \frac{π}{2})$ ，若直线l过点P，且倾斜角为 $\frac{π}{6}$ ，圆C以M为圆心，3为半径．
（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|．

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23. 已知函数f（x）=|x+a|+|x+ $\frac{1}{a}$ |（a＞0）（a＜0）

(1)、当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集

(2)、证明： $f (m) + f (- \frac{1}{m}) \geq 4$ ．

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	非一线	一线	总计
愿生	45	20	65
不愿生	13	22	35
总计	58	42	100

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828