2017年江西省赣州市、吉安市、抚州市七校联考高考数学模拟试卷（理科）（2）

试卷更新日期：2017-04-27 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知i为虚数单位，a∈R，若（a+1）（a﹣1+i）是纯虚数，则a的值为（）

A、﹣1或1 B、1 C、﹣1 D、3

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2. 已知全集U=R，集合A={x|x²+x﹣6＞0}，B={y|y=2^x﹣1，x≤2}，则（∁_UA）∩B=（）

A、[﹣3，3] B、[﹣1，2] C、[﹣3，2] D、（﹣1，2]

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3. 已知函数f（x）=x²+ $\frac{a}{x}$ ，则“0＜a＜2”是“函数f（x）在（1，+∞）上为增函数”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）

A、若a∥α，b∥α，则a∥b B、若a∥α，a∥β，则α∥β C、若a∥b，a⊥α，则b⊥α D、若a∥α，α⊥β，则α⊥β

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5. 运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log₄3和log₃4，则输出M的值是（）

A、0 B、1 C、3 D、﹣1

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6. 如图，正方形中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点．那么 $\vec{E F}$ =（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A D}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{1}{2} \vec{A D}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A D}$

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7.
中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造一种标准量器﹣商鞅铜方升，其三视图（单位：寸）如图所示，若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中x的为（）

A、2.5 B、3 C、3.2 D、4

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8. 设x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq y \\ y \geq 4 x - 3 \\ x \geq 0 ， y \geq 0 \end{matrix}$ ，若目标函数2z=2x+ny（n＞0），z的最大值为2，则y=tan（nx+ $\frac{π}{6}$ ）的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 后的表达式为（）

A、y=tan（2x+ $\frac{π}{6}$ ） B、y=tan（x﹣ $\frac{π}{6}$ ） C、y=tan（2x﹣ $\frac{π}{6}$ ） D、y=tan2x

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9. 直线l：ax+ $\frac{1}{a}$ y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x²+y²=1的交点为C，D．给出下列命题：p：∀a＞0，S_△_AOB= $\frac{1}{2}$ ，q：∃a＞0，|AB|＜|CD|．则下面命题正确的是（）

A、p∧q B、￢p∧￢q C、p∧￢q D、￢p∧q

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10. 函数y= $\frac{x^{2}}{e^{| x | + 1}}$ （其中e为自然对数的底）的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁（﹣e，0），F₂（e，0），以线段F₁F₂为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P，若直线PF₂与圆E：（x﹣ $\frac{c}{2}$ ）²+y²= $\frac{b^{2}}{16}$ 相切，则双曲线的渐近线方程是（）

A、y=±x B、y=± $\sqrt{2}$ x C、y=± $\sqrt{3}$ x D、y=±2x

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12. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} 10 x - 1 ， x \leq 0 \\ e^{x} ， x > 0 \end{matrix}$ （e为自然对数的底）．若函数g（x）=f（x）﹣kx恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（）

A、（1，e） B、（e，10] C、（1，10] D、（10，+∞）

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二、填空题

13. 已知直线x+2y﹣1=0与直线2x+my+4=0平行，则它们之间的距离是

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14. 对于函数g（x）= ${\begin{matrix} \sin π x ， x \in (2 ， + \infty) \\ 2 g (x + 2) ， x \in (0 ， 2] \end{matrix}$ ，若关于x的方程g（x）=n（n＞0）有且只有两个不同的实根x₁ ， x₂ ，则x₁+x₂= ．

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15. 将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N^* ，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q﹣p，例如f（12）=4﹣3=1．数列{f（3ⁿ）}的前100项和为．

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16. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1的离心率为 $\sqrt{3}$ ，实轴为AB，平行于AB的直线与双曲线C交于点M，N，则直线AM，AN的斜率之积为．

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三、解答题

17. 已知由实数组成的等比数列{a_n}的前项和为S_n ，且满足8a₄=a₇ ， S₇=254．

(1)、求数列{a_n}的通项公式；

(2)、对n∈N^* ， b_n= $\frac{2 n + 1}{{(\log_{2} a_{n})}^{2} \cdot {(\log_{2} a_{n + 1})}^{2}}$ ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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18. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（c﹣2a） $\vec{A B} \cdot \vec{B C}$ =c $\vec{B C}$ • $\vec{A C}$

(1)、求B的大小；

(2)、已知f（x）=cosx（asinx﹣2cosx）+1，若对任意的x∈R，都有f（x）≤f（B），求函数f（x）的单调递减区间．

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19. 已知三棱台ABC﹣A₁B₁C₁中，平面BB₁C₁C⊥平面ABC，∠ACB=90°，BB₁=CC₁=B₁C₁=2，BC=4，AC=6

(1)、求证：BC₁⊥平面AA₁C₁C

(2)、点D是B₁C₁的中点，求二面角A₁﹣BD﹣B₁的余弦值．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的离心率e= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，右顶点、上顶点分别为A，B，直线AB被圆O：x²+y²=1截得的弦长为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设过点B且斜率为k的动直线l与椭圆C的另一个交点为M， $\vec{O N}$ =λ（ $\vec{O B} + \vec{O M}$ ），若点N在圆O上，求正实数λ的取值范围．

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21. 已知f（x）=aln（x²+1）+bx存在两个极值点x₁ ， x₂ ．

(1)、求证：|x₁+x₂|＞2；

(2)、若实数λ满足等式f（x₁）+f（x₂）+a+λb=0，试求λ的取值范围．

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22. 在直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1} ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，曲线C₂的参数方程为： ${\begin{matrix} x = \sqrt{2} \cos θ \\ y = \sin θ \end{matrix}$ ，（θ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系．

(1)、求C₁ ， C₂的极坐标方程；

(2)、射线 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} (x \geq 0)$ 与C₁的异于原点的交点为A，与C₂的交点为B，求|AB|．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+5﹣a|

(1)、若不等式f（x）﹣|x﹣a|≤2的解集为[﹣5，﹣1]，求实数a的值；

(2)、若∃x₀∈R，使得f（x₀）＜4m+m² ，求实数m的取值范围．

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