2017年湖南省湘潭市高考数学三模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-27 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、选择题：

1. 已知全集U=R，集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2^x ， x∈R}，则集合∁_U（M∪N）等于（）

A、（﹣∞，﹣1] B、（﹣1，2） C、（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） D、[2，+∞）

查看试题解析
2. 若z（1﹣i）=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）

A、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2}$

查看试题解析
3. 如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=e^x﹣1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $\frac{1}{e - 1}$ C、 $1 - \frac{1}{e}$ D、 $\frac{e - 2}{e - 1}$

查看试题解析
4. “m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）²+（y﹣1）²=2相切”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
5. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

查看试题解析
6. 函数 f（x）=（x²﹣2x）e^x的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
7. 执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（）

A、k＜6？ B、k＜7？ C、k＞6？ D、k＞7？

查看试题解析
8. 某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）

A、6π B、7π C、8π D、12π

查看试题解析
9. 已知T_n为数列 ${\frac{2^{n} + 1}{2^{n}}}$ 的前n项和，若n＞T₁₀+1013恒成立，则整数n的最小值为（）

A、1026 B、1025 C、1024 D、1023

查看试题解析
10. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b
被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a=b（bmodm）．若 $a = C_{20}^{0} + C_{20}^{1} \cdot 2 + C_{20}^{2} \cdot 2^{2} + \dots + C_{20}^{20} \cdot 2^{20}$ ，a=b（bmod10），则b的值可以是（）

A、2011 B、2012 C、2013 D、2014

查看试题解析
11.
如图，A₁ ， A₂为椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A₁ ， A₂的三点，直线QA₁ ， QA₂ ， OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|²+|OT|²=（）

A、14 B、12 C、9 D、7

查看试题解析
12. 已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x² ，若对∀p，q∈（0，1），且p≠q，有 $\frac{f (p + 1) - f (q + 1)}{p - q} > 2$ 恒成立，则实数a的取值范围为（）

A、（﹣∞，18） B、（﹣∞，18] C、[18，+∞） D、（18，+∞）

查看试题解析

二、填空题

13. 若（1+2x）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+a₅x⁵ ，则a₀+a₂+a₄= ．

查看试题解析
14. 已知点M（1，m）（m＞1），若点N（x，y）在不等式组 ${\begin{matrix} y \geq x \\ \begin{array}{l} y \leq m x \\ x + y \leq 1 \end{array} \end{matrix}$ 表示的平面区域内，且 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ （O为
坐标原点）的最大值为2，则m= ．

查看试题解析
15. 将函数f（x）=sin2x的图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于y轴对称，则当φ取最小的值时，g（0）= ．

查看试题解析
16. 数列{a_n}满足a₁+a₂+a₃+…a_n=2n﹣a_n（n∈N⁺）．数列{b_n}满足b_n= $\frac{2 - n}{2} (a_{n} - 2)$ ，则{b_n}中的最大项的值是．

查看试题解析

三、解答题

17. 在△ABC中，2cos2A+3=4cosA．

(1)、求角A的大小；

(2)、若a=2，求△ABC的周长l的取值范围．

查看试题解析
18. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．
将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且 $A P = \sqrt{2}$ ．
（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；
（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．

查看试题解析
19. 某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：
班号
一班
二班
三班
四班
五班
六班
频数
5
9
11
9
7
9
满意人数
4
7
8
5
6
6

(1)、在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；

(2)、若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

查看试题解析
20. 已知点F（1，0），点A是直线l₁：x=﹣1上的动点，过A作直线l₂ ， l₁⊥l₂ ，线段AF的垂直平分线与l₂交于点P．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若点M，N是直线l₁上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x²+y²=1，直线PF的斜率为k，求 $\frac{| K |}{| M N |}$ 的取值范围．

查看试题解析
21. 已知函数f（x）=ln（2ax+1）+ $\frac{x^{3}}{3}$ ﹣x²﹣2ax（a∈R）．

(1)、若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；

(2)、若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；

(3)、当a=﹣ $\frac{1}{2}$ 时，方程f（1﹣x）= $\frac{{(1 - x)}^{3}}{3} + \frac{b}{x}$ 有实根，求实数b的最大值．

查看试题解析
22. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 1 + \cos θ \\ y = \sin θ \end{matrix}$ （θ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．

(1)、求圆C的极坐标方程；

(2)、若直线l的极坐标方程是 $2 ρ \sin (θ + \frac{π}{3}) = 3 \sqrt{3}$ ，射线 $O M ： θ = \frac{π}{3}$ 与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q．求线段PQ的长．

查看试题解析
23. 已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．

(1)、求a+b的值；

(2)、若 $m \leq \frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 恒成立，求实数m的最大值．

查看试题解析

班号	一班	二班	三班	四班	五班	六班
频数	5	9	11	9	7	9
满意人数	4	7	8	5	6	6