2017年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-27 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（）

A、k＞e³ B、k≥e³ C、k＞e⁴ D、k≥e⁴

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2. i为虚数单位，若 $\frac{a + b i}{i}$ （a，b∈R）与（2﹣i）²互为共轭复数，则a﹣b=（）

A、1 B、﹣1 C、7 D、﹣7

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3. 已知f（x）=sinx﹣x，命题p：∃x∈（0， $\frac{π}{2}$ ），f（x）＜0，则（）

A、p是假命题，￢p：∀x∈（0， $\frac{π}{2}$ ），f（x）≥0 B、p是假命题，￢p：∃x∈（0， $\frac{π}{2}$ ），f（x）≥0 C、P是真命题，￢p：∀x∈（0， $\frac{π}{2}$ ），f（x）≥0 D、p是真命题，￢p：∃x∈（0， $\frac{π}{2}$ ），f（x）≥0

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4. 在等差数列{a_n}中，a₁+3a₈+a₁₅=60，则2a $_{9}$ ﹣a₁₀的值为（）

A、6 B、8 C、12 D、13

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5. 我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的n=5，x=2，则输出V的值为（）

A、15 B、31 C、63 D、127

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6. 一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）

A、3cm B、4cm C、5cm D、6cm

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7. 若不等式组 ${\begin{matrix} x + y - 1 \leq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ y + \frac{1}{2} \geq 0 \end{matrix}$ 表示的区域Ω，不等式（x﹣ $\frac{1}{2}$ ）²+y² $\leq \frac{1}{4}$ 表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）

A、114 B、10 C、150 D、50

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8. 若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足 $\vec{C M}$ = $\frac{1}{3}$ $\vec{C B}$ + $\frac{1}{2}$ $\vec{C A}$ ，则 $\vec{A M}$ • $\vec{B M}$ 的值为（）

A、﹣ $\frac{15}{2}$ B、﹣2 C、 $\frac{15}{2}$ D、2

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9. 高考结束后高三的8名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一班的乘坐方式共有（）

A、18种 B、24种 C、48种 D、36种

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10. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）

A、（1， $\frac{3}{2}$ ） B、（1，2） C、（ $\frac{3}{2}$ ，+∞） D、（2，+∞）

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11. 如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0， $\frac{π}{2}$ ＜φ＜π）的部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为2 $\sqrt{3}$ ，则f（﹣1）=（）

A、﹣2 B、2 C、﹣ $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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12. 已知函数f（x）= ${\begin{matrix} \ln x ， x \geq 1 \\ 1 - \frac{x}{2} ， x < 1 \end{matrix}$ ，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x₁ ， x₂ ，则x₁•x₂的取值范围是（）

A、[4﹣2ln2，+∞） B、（ $\sqrt{e}$ ，+∞） C、（﹣∞，4﹣2ln2] D、（﹣∞， $\sqrt{e}$ ）

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二、填空题：

13. 设a= $\int_{0}^{π}$ （cosx﹣sinx）dx，则二项式（a $\sqrt{x}$ ﹣ $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ）⁶的展开式中含x²项的系数为．

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14. 已知抛物线C：y²=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ =0，则k= ．

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15. 已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x_n}满足x_n₊₁=x_n﹣ $\frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}$ ，设a_n=ln $\frac{x_{n} - 2}{x_{n} - 1}$ ，若a₁= $\frac{1}{2}$ ，x_n＞2，则数列{a_n}的通项公式a_n= ．

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16. 已知f（x）=x³﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是．

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三、解答题：

17. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．
（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；
（Ⅱ）若C= $\frac{π}{3}$ ，△ABC的面积为4 $\sqrt{3}$ ，求c．

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18. 甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
20
40
20
10
10
乙公司送餐员送餐单数频数表
送餐单数
38
39
40
41
42
天数
10
20
20
40
10
（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；
（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：
（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．

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19. 如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，D，E分别是B₁C₁、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A₁A=4，A₁E= $\sqrt{14}$ ．
（Ⅰ）证明：A₁D⊥平面A₁BC；
（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B₁的平面角的正弦值．

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20. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的左焦点F₁与抛物线y²=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过点M （m，0）（m＞ $\frac{3}{4}$ ）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（ $\frac{5}{4}$ ，0），且 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 为定值．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．

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21. 已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．
（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+ $\frac{1}{2} x^{2}$ ，若g（x）有极大值点x₁ ，求证： $\frac{\ln x_{1}}{x_{1}} + \frac{1}{x_{1}^{2}}$ ＞a．

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22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 4 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）若关于x的方程 $\frac{1}{f (x) - 4}$ =a的解集为空集，求实数a的取值范围．

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送餐单数	38	39	40	41	42
天数	20	40	20	10	10

送餐单数	38	39	40	41	42
天数	10	20	20	40	10