2017年广西玉林市、贵港市高考数学一模试卷（理科）

试卷更新日期：2017-04-27 类型：高考模拟

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一、选择题：

1. 已知集合M={x|x²﹣3x﹣4≤0}，集合N={x|lnx≥0}，则M∩N=（）

A、{x|1≤x≤4} B、{x|x≥1} C、{x|﹣1≤x≤4} D、{x|x≥﹣1}

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2. 若复数z满足|z|• $\bar{z}$ =20﹣15i，则z的虚部为（）

A、3 B、﹣3 C、3i D、﹣3i

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3. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是非零向量且满足（ $\vec{a}$ ﹣2 $\vec{b}$ ）⊥ $\vec{a}$ ，（ $\vec{b}$ ﹣2 $\vec{a}$ ）⊥ $\vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 如图是总体密度曲线，下列说法正确的是（）

A、组距越大，频率分布折线图越接近于它 B、样本容量越小，频率分布折线图越接近于它 C、阴影部分的面积代表总体在（a，b）内取值的百分比 D、阴影部分的平均高度代表总体在（a，b）内取值的百分比

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5. 若3sinα+cosα=0，则 $\frac{1}{\cos^{2} α + 2 \sin α \cos α}$ 的值为（）

A、 $\frac{10}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、﹣2

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6. 若偶函数f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，a=f（log₂3），b=f（log₄5），c=f（ $2^{\frac{3}{2}}$ ），则a，b，c满足（　　）

A、a＜b＜c B、b＜a＜c C、c＜a＜b D、c＜b＜a

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7. 计算机在数据处理时使用的是二进制，例如十进制的1、2、3、4在二进制分别表示为1、10、11、100．下面是某同学设计的将二进制数11111化为十进制数的一个流程图，则判断框内应填入的条件是（）

A、i＞4 B、i≤4 C、i＞5 D、i≤5

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8. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2a﹣b=2ccosB，则角C的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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9. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（）

A、2 B、4 C、4+4 $\sqrt{2}$ D、6+4 $\sqrt{2}$

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10. 用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3} π}{8}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3} π}{7}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2} π}{8}$ D、 $\frac{3 \sqrt{2} π}{7}$

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11. 如图所示，一个圆乒乓球筒，高为20厘米，底面半径为2厘米，球桶的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{5}$ D、 $\frac{1}{4}$

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12. 已知数列{a_n}中a_n= $\sqrt{5 n - 1}$ （n∈N^*），将数列{a_n}中的整数项按原来的顺序组成数列{b_n}，则b₂₀₁₈的值为（）

A、5035 B、5039 C、5043 D、5047

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二、填空题：

13. 为了得到函数y= $\sqrt{2}$ cos2x的图象，可以将函数y=sin2x+cos2x的图象至少向左平移个单位．

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14. 已知实数x，y满足条件 ${\begin{matrix} x + y - 3 \geq 0 \\ x - y - 3 \leq 0 \\ y \leq 2 \end{matrix}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的取值范围是．

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15. 已知函数f（x）=﹣f'（0）e^x+2x，点P为曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线l上的一点，点Q在曲线y=e^x上，则|PQ|的最小值为．

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16. 已知点A（1﹣m，0），B（1+m，0），若圆C：x²+y²﹣8x﹣8y+31=0上存在一点P，使得 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ =0，则m的最大值为．

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三、解答题：

17. 已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n₊₁= $\frac{a_{n}}{a_{n} + 3}$ （n∈N^*）．

(1)、求证：{ $\frac{1}{a_{n}}$ + $\frac{1}{2}$ }为等比数列，并求{a_n}的通项公式a_n；

(2)、数列{b_n}满足b_n=（3ⁿ﹣1）• $\frac{n}{2^{n}}$ •a_n ，求数列{b_n}的前n项和T_n ．

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18.

2015男篮亚锦赛决赛阶段，中国男篮以9连胜的不败战绩赢得第28届亚锦赛冠军，同时拿到亚洲唯一1张直通里约奥运会的入场券．赛后，中国男篮主力易建联荣膺本届亚锦赛MVP（最有价值球员），如表是易建联在这9场比赛中投篮的统计数据．

比分	易建联技术统计
比分	投篮命中	罚球命中	全场得分	真实得分率
中国91﹣42新加坡	3/7	6/7	12	59.52%
中国76﹣73韩国	7/13	6/8	20	60.53%
中国84﹣67约旦	12/20	2/5	26	58.56%
中国75﹣62哈萨克期坦	5/7	5/5	15	81.52%
中国90﹣72黎巴嫩	7/11	5/5	19	71.97%
中国85﹣69卡塔尔	4/10	4/4	13	55.27%
中国104﹣58印度	8/12	5/5	21	73.94%
中国70﹣57伊朗	5/10	2/4	13	55.27%
中国78﹣67菲律宾	4/14	3/6	11	33.05%

注：①表中a/b表示出手b次命中a次；

②TS%（真实得分率）是衡量球员进攻的效率，其计算公式为：

TS%= $\frac{全场得分}{2 \times (投篮出手次数 + 0.44 \times 罚球出手次数)}$ ．

（Ⅰ）从上述9场比赛中随机选择一场，求易建联在该场比赛中TS%超过50%的概率；

（Ⅱ）从上述9场比赛中随机选择两场，求易建联在这两场比赛中TS%至少有一场超过60%的概率；

（Ⅲ）用x来表示易建联某场的得分，用y来表示中国队该场的总分，画出散点图如图所示，请根据散点图判断y与x之间是否具有线性相关关系？结合实际简单说明理由．

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19. 如图，在三棱台ABC﹣A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AB=2A₁B₁=2CC₁ ， M，N分别为AC，BC的中点．

(1)、求证：AB₁∥平面C₁MN；

(2)、若AB⊥BC且AB=BC，求二面角C﹣MC₁﹣N的大小．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过椭圆C的左顶点A作直线m，与圆O相交于两点R，S，若△ORS是钝角三角形，求直线m的斜率k的取值范围．

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21. 已知函数h（x）=lnx+ $\frac{1}{x}$ ．

(1)、函数g（x）=h（2x+m），若x=1是g（x）的极值点，求m的值并讨论g（x）的单调性；

(2)、函数φ（x）=h（x）﹣ $\frac{1}{x}$ +ax²﹣2x有两个不同的极值点，其极小值为M，试比较2M与﹣3的大小关系，并说明理由．

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22. 已知平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（3， $\frac{π}{4}$ ）．曲线C的参数方程为ρ=2cos（θ﹣ $\frac{π}{4}$ ）（θ为参数）．
（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若Q为曲线C上的动点，求PQ的中点M到直线l：2ρcosθ+4ρsinθ= $\sqrt{2}$ 的距离的最小值．

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23. 已知f（x）=|x﹣2|+|x+1|+2|x+2|．
（Ⅰ）求证：f（x）≥5；
（Ⅱ）若对任意实数x，15﹣2f（x）＜a²+ $\frac{9}{a^{2} + 1}$ 都成立，求实数a的取值范围．

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