湖南省永州市2018-2019高三上学期理数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-03-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $z = (1 + i) i$ （其中 $i$ 为虚数单位），则复数 $z =$ （）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x | x \geq 0}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

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3. 我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米谷约为（）

A、134石 B、169石 C、338石 D、454石

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4. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列是公比为 $q$ 的等比数列 B、数列是公比为 $q$ 的等比数列 C、数列是公比为 $q$ 的等比数列 D、数列是公比为的等比数列

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5. “远离毒品，珍爱生命”，某校为强化禁毒教育，掌握学生对禁毒宣传资料的了解程度，随机抽取30名学生参加禁毒知识测试，得分情况如图所示，若所有得分的中位数为 $M$ ，众数为 $N$ ，平均数为 $\bar{x}$ ，则（）

A、 B、 C、 D、

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6. 为了得到函数 $y = sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图像，只需将函数 $y = sin 2 x$ 的图像（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位

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7. 若等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，且 $S_{3} = - 30$ ， $S_{8} = - 40$ ，则 $S_{11} =$ （）

A、-16 B、-18 C、-20 D、-22

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8. 在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别为 $A D ， C D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{B F} =$ （）

A、 B、 C、 D、

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9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、20 B、24 C、26 D、30

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10. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点为 $F$ ，过点 $F$ 作斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $A ， B$ 两点，则 $A B$ 的长度为（）

A、 $\frac{21}{7}$ B、 C、 D、

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，则下列判断中正确的是（）

①平面 $P B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ ；② $A_{1} P / /$ 平面 $A C D_{1}$ ；③异面直线 $A_{1} P$ 与 $A D_{1}$ 所成角的取值范围是 $(0 ， \frac{π}{3}]$ ；④三棱锥 $D_{1} - A P C$ 的体积不变.

A、①② B、①②④ C、③④ D、①④

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12. 设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 2$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} (a_{n} + 1)$ ，若 $[\frac{a_{1}}{a_{1} + 1} + \frac{a_{2}}{a_{2} + 1} + \dots + \frac{a_{n}}{a_{n} + 1}] = 100$ ，则整数 $n =$ （）

A、99 B、100 C、101 D、102

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二、填空题

13. 若 $x ， y$ 满足 ${\begin{matrix} x \leq 3 \\ x + y \geq 2 \\ y \leq 3 x \end{matrix}$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最小值为．

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14. 已知双曲线的两个焦点为 $F_{1} (- \sqrt{10} ， 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{10} ， 0)$ ，渐近线为 $y = \pm \frac{1}{3} x$ ，则双曲线的标准方程为．

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15. $(1 + x) {(1 - x)}^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为．

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16. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} 2^{x} - x^{2} ， x > 0 \\ e^{| x + 2 |} - a ， x \leq 0 \end{matrix}$ 有4个零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\sqrt{3} sin A - cos A = 2$ $\sqrt{3} sin A - cos A = 2$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $Δ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $(sin B + sin C) a = 3 sin A$ ，求 $a$ .

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18. 如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为矩形，直线 $A D$ 与平面 $D C F E$ 所成的角为 $60^{0}$ ， $D E / / C F$ ， $C D ⊥ D E$ ， $A D = 2$ ， $D E = D C = 3$ .

(1)、求证：直线 $B F / /$ 平面 $A D E$ ；

(2)、点 $G$ 在线段 $C F$ 上，且 $C G = \frac{3}{2}$ ，求二面角 $B - E G - D$ 的余弦值.

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19. 已知抛物线 $E ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $P$ 在抛物线 $E$ 上，点 $P$ 的纵坐标为8，且 $| P F | = 9$ .

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、若点 $M$ 是抛物线 $E$ 准线上的任意一点，过点 $M$ 作直线 $n$ 与抛物线 $E$ 相切于点 $N$ ，证明： $F M ⊥ F N$ .

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20. 2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.
方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.

方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.

(1)、现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；

(2)、若某顾客获得抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；

②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？

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21. 已知函数 $f (x) = a x e^{x} - (a - 1) {(x + 1)}^{2}$ （其中 $a \in R$ ， $e$ 为自然对数的底数， $e = 2.718281 \dots$ ）.

(1)、若 $a = 2$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、证明：当 $0 < a < \frac{1}{2}$ 时，函数 $f (x)$ 有两个零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $- 3 < x_{1} + x_{2} < - 2$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，过点 $M (x_{0} ， y_{0})$ 的直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = x_{0} + \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = y_{0} + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ = 1$ ，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2$ .

(1)、若点 $M$ 的直角坐标为 $(1 ， \sqrt{3})$ ，求直线 $l$ 及曲线 $C_{1}$ 的直角坐标方程；

(2)、若点 $M$ 在 $C_{2}$ 上，直线 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A ， B$ 两点，求 $| M A | \cdot | M B |$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | + | 2 x - a |$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 2 x$ 的解集；

(2)、若 $y = f (x)$ 的最小值为1，求实数 $a$ 的值.

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