湖北省黄冈市2018-2019学年高三上学期文数元月调研试卷

试卷更新日期：2019-03-18 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数z满足 $z i = 2 - i$ ，则z的其轭复数 $\bar{z}$ 对应的点是第 $($ $)$ 象限的点

A、一 B、二 C、三 D、四

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2. 已知函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域为 $(- 2 ， 0)$ ，则 $f (x)$ 的定义域为 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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3. 关于x的不等式 $a x + b > 0$ 的解集是 $(1 ， + \infty)$ ，则关于x的不等式 $(a x + b) (x - 2) < 0$ 的解集是 $($ $)$

A、 B、 C、 D、

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4. 过点 $A (1 ， 2)$ 的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为 $($ $)$

A、 B、 C、 $2 x - y = 0$ 或 D、 $2 x - y = 0$ 或

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5. 下列有关命题的叙述错误的是 $($ $)$

A、若“ ”为假命题，则p与q均为假命题 B、已知向量，，则“ ”是“ ”的充分不必要条件 C、命题“若，则的逆否命题为“若，则 ” D、命题“ ， ”的否定是“ ， ”

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6. 已知角 $θ$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴的正半轴重合，终边在直线 $y = 3 x$ 上，则 $sin 2 θ = ($ $)$

A、 B、 C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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7. 已知P为 $△ A B C$ 所在平面内一点，且满足 $\vec{A P} = λ (\vec{A B} + \vec{A C})$ ， $\vec{B P} = (1 - 2 μ) \vec{B C} (λ ， μ \in R)$ ，则 $λ + μ = ()$

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、

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8. 已知圆 $x^{2} + y^{2} + 2 k^{2} x + 2 y + 4 k = 0$ 关于 $y = x$ 对称，则 $k$ 的值为 $($ $)$

A、 $- 1$ B、1 C、 $\pm 1$ D、0

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9. 已知a，b，c分别为 $△ A B C$ 的三个内角A，B，C的对边，已知 $∠ C = 45^{\circ}$ ， $c = \sqrt{2}$ ， $a = x$ ，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是 $($ $)$

A、 B、 C、 $1 < x < 2$ D、

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10. 黄冈市的天气预报显示，大别山区在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为 $40 %$ ，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率：先利用计算器产生 $0 - 9$ 之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5表示没有强浓雾，用6，7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：
779 537 113 730 588 506 027 394 357 231

683 569 479 812 842 273 925 191 978 520

则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为 $($ $)$

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 D、 $\frac{1}{5}$

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11. 已知圆 $C ： x^{2} + {(y - 1)}^{2} = R^{2}$ 与函数 $y = 2 sin x$ 的图象有唯一交点，且交点的横坐标为 $α$ ，则 $\frac{4 c o s^{2} \frac{α}{2} - α - 2}{s i n 2 α} =$ （）

A、 $- 2$ B、2 C、 $- 3$ D、3

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二、填空题

12. 如图是为了求出满足 $2^{1} + 2^{2} + \dots + 2^{n} > 2018$ 的最小整数n，和两个空白框中，可以分别填入 $($ $)$

A、？，输出 B、？，输出n C、？，输出 D、？，输出n

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13. 自2015年来黄冈市各重点高中开展了形式多样的各种选课走班活动，记者调查了黄梅一中甲、乙、丙三位同学，在被问到是否参加过黄梅戏、黄梅挑花、岳家拳这三个特长班时，甲说：我参加过的特长班比乙多，但没有参加过岳家拳；乙说：我没有参加过黄梅挑花；丙说：我们三个人都参加过同一个特长班，由此判断乙参加过的特长班为．

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14. 在等边三角形ABC中， $\vec{A B}$ 在 $\vec{B C}$ 方向上投影为 $- 1$ ，且 $\vec{A D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $△ A B D$ 的面积为．

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15. 若关于x的不等式 $x + \frac{4}{x - a} \geq 5$ 在 $x \in (a, + \infty)$ 上恒成立，则实数a的最小值为．

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16. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列 ${a_{n}}$ 称为“斐波那契数列”，则 $(a_{1} a_{3} - a_{2}^{2}) + (a_{2} a_{4} - a_{3}^{2}) + (a_{3} a_{5} - a_{4}^{2}) + + (a_{2018} \cdot a_{2020} - a_{2019}^{2}) =$ ．

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三、解答题

17. 已知函数 $f (x) = - \sqrt{3} cos (2 x + \frac{π}{2}) + 1 - 2 {sin}^{2} x .$

(1)、用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数 $f (x)$ 在 $[0 ， π]$ 上的图象．

(2)、先将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 的对称中心．

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18. 设 $p ： A = {x | a + 1 \leq x \leq 2 a - 1}$ ， $B = {x | x \leq 3$ 或 $x > 5}$ ， $A \subseteq B$ ； $q :$ 函数 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 1$ 在 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ 上为增函数，若 $p \land q$ ”为假，且“ $p \lor q$ ”为真，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 中国人旅游有个特点：喜欢在旅游区购买当地的名优土特产，黄冈市有很多名优土特产，黄冈市的蕲春县就有闻名于世的“蕲春四宝”

(

蕲竹、蕲艾、蕲蛇、蕲龟

)

，由于医圣李时珍出生在蕲春县，很多人慕名而来，回家时顺带买点“蕲春四宝”，通过随机询问60名不同性别的游客在购买“蕲春四宝”时是否在来蕲春县之前就知道“蕲春四宝”，得到如下列联表：

	男	女	总计
事先知道“蕲春四宝”	8	n	q
事先不知道“蕲春四宝”	m	4	36
总计	40	p	t

$P (R^{2} \geq k_{0})$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k_{0}$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

(1)、写出列联表中各字母代表的数字；

(2)、由以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过

0.001

的前提下认为购买“蕲春四宝”和是否“事先知道

‘

蕲春四宝

’

有关系”？

(3)、现从这60名游客中用分层抽样的方法抽取15名游客进行问卷调查，再从抽取的女游客中，随机选出2人给予小礼品，求有2名女游客是事先知道“蕲春四宝”的概率？

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20. 设正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{3} = 9$ ， $a_{n + 1}^{2} = 6 S_{n} + 9 n + 9$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若正项等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = a_{2}$ ， $b_{2} = a_{1}$ ，且 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，数列 ${c_{n}}$ 的前项和为 $T_{n}$ ，求证 $T_{n} < 72$ .

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21. 已知O为坐标原点，椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，右顶点为A，上顶点为B，若 $| O B |$ ， $| O F_{2} |$ ， $| A B |$ 成等比数列，椭圆C上的点到焦点 $F_{2}$ 的距离的最大值为 $2 \sqrt{6} + 4$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、过该椭圆的右焦点 $F_{2}$ 作倾角为 $\frac{π}{4}$ 的直线与椭圆交于M，N两点，求 $△ F_{1} M N$ 的内切圆的半径．

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22. 已知函数 $f (x) = 2 ln x - x^{2}$ ，

(1)、求函数 $y = f (x)$ 图象上一点 $A (1 ， f (1))$ 处的切线方程．

(2)、若方程 $f (x) - 2 a = 0$ 在 $[\frac{1}{e} ， e]$ 内有两个不等实根，求实数a的取值范围 $(e$ 为自然对数的底数 $)$ ．

(3)、求证 $\frac{1}{ln 2} + \frac{1}{ln 3} + \dots + \frac{1}{ln n} \geq \frac{3}{2} - \frac{2 n + 1}{n (n + 1)} (n \in N$ ，且 $n \geq 2)$

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