黑龙江省大庆市2018-2019学年高三文数第二次模拟考试试卷

试卷更新日期：2019-03-18 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | (x + 1) (x - 3) < 0}$ ， $B = {1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A \cap^{} B =$ （）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
2. 若复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 2 i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则 $z =$ （）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
3. 设命题 $p ： f (x) = \frac{1}{x}$ 在定义域上为减函数；命题 $q ： g (x) = cos (x + \frac{π}{2})$ 为奇函数，则下列命题中真命题是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
4. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{matrix} x - y + 1 \geq 0 ， \\ x + y - 1 \geq 0 ， \\ x \leq 3. \end{matrix}$ 则 $z = 2 x - 3 y$ 的最小值是（）

A、-7 B、-6 C、-5 D、-3

查看试题解析
5. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2}$ ， $a_{14}$ 是方程 $x^{2} + 6 x + 2 = 0$ 的两个实根，则 $\frac{a_{8}}{a_{2} a_{14}} =$ （）

A、 B、-3 C、-6 D、2

查看试题解析
6. 已知 $p = 3^{0.5}$ ， $q = {log}_{9} 5$ ， $r = {log}_{3} 2$ ，则 $p ， q ， r$ 的大小关系为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
7. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线与 $y$ 轴所成的锐角为 $60^{\circ}$ ，则该双曲线的离心率是（）

A、2或 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、

查看试题解析
8. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的三棱锥和圆锥满足祖暅满足祖暅原理的条件.若圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
9. 已知 $F$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (q > 0)$ 的焦点，过点 $R (2 ， 1)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $R$ 为线段 $A B$ 的中点，若 $| F A | + | F B | = 5$ ，则直线 $l$ 的斜率为（）

A、3 B、1 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ ， $x \in [0 ， π]$ 的值域为 $[- \frac{\sqrt{3}}{2} ， 1]$ ，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、 $(0, + \infty)$

查看试题解析
11. 某四棱锥的三视图如图所示，其俯视图为等腰直角三角形，则该四棱锥4个侧面中，直角三角形共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

查看试题解析
12. 已知定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，当 $x > 0$ 时，有 $2 f (x) + x f^{'} (x) > 0$ ，且 $f (- 1) = 0$ ，则使得 $f (x) > 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析

二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} \sqrt{1 - x} ， x \leq 1 \\ 2^{- x} ， x > 1 \end{matrix}$ ，则 $f [f (2)] =$ ．

查看试题解析
14. 已知 $α$ ， $β$ 为锐角，且 $(1 + tan α) (1 + tan β) = 2$ ，则 $α + β =$ ．

查看试题解析
15. 点 $A ， B ， C ， D$ 均在同一球面上， $A D ⊥$ 平面 $A B C$ ，其中 $Δ A B C$ 是等边三角形， $A D = 2 A B = 6$ ，则该球的表面积为．

查看试题解析
16. 已知点 $G$ 为 $Δ O A B$ 的重心， $\overset{⇀}{O P} = m \overset{⇀}{O A}$ ， $\overset{⇀}{O Q} = n \overset{⇀}{O B} (m > 0 ， n > 0)$ ， $\overset{⇀}{P G} = λ \overset{⇀}{G Q}$ ，则 $m + n$ 的最小值为．

查看试题解析

三、解答题

17. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 120$ ， $a_{n + 1} = 3 a_{n}$ .
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 $b_{n} = {log}_{3} a_{2 n + 1}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
18. 在 $Δ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b sin (A + B) = 2 c cos B$ .
（Ⅰ）求 ${sin}^{2} B + sin 2 B$ 的值；

（Ⅱ）若 $b = 2$ ，且 $Δ A B C$ 面积为1，求 $a + c$ 的值.

查看试题解析
19. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A P = A D = 2 A B = 2 B C = 2$ ，点 $M$ 在棱 $P C$ 上.

（Ⅰ）求证： $A M ⊥ C D$ ；

（Ⅱ）当 $A M ⊥$ 平面 $P C D$ 时，求三棱锥 $M - P A D$ 的体积.

查看试题解析
20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a < b < 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，短轴长为4.
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）过点 $N (0, 2)$ 作两条直线，分别交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点（异于 $N$ ），当直线 $N A$ ， $N B$ 的斜率之和为4时，直线 $A B$ 恒过定点，求出定点的坐标.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 a ln x (a \in R)$ .
（Ⅰ）当 $a = \frac{1}{2}$ 时，点 $M$ 在函数 $y = f (x)$ 的图象上运动，直线 $y = x - 2$ 与函数 $y = f (x)$ 的图象不相交，求点 $M$ 到直线 $y = x - 2$ 距离的最小值；

（Ⅱ）讨论函数 $f (x)$ 零点的个数，并说明理由.

查看试题解析
22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = c o s α \\ y = 1 + s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数）， $M$ 是 $C_{1}$ 上的动点， $P$ 点满足 $\overset{⇀}{O P} = 2 \overset{⇀}{O M}$ ， $P$ 点的轨迹为曲线 $C_{2}$ .
（Ⅰ）求 $C_{2}$ 的普通方程；

（Ⅱ）在以 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 $ρ sin (θ + \frac{π}{3}) = 2$ 与 $C_{2}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，交 $x$ 轴于点 $N$ ，求 $| N A | \cdot | N B |$ 的值.

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = 2 | x | + | 2 x - 1 |$ .
（Ⅰ）解不等式 $f (x) \leq 5$ ；

（Ⅱ）求函数 $y = {(\frac{1}{2})}^{f (x)}$ 的值域.

查看试题解析